随机过程：第3章 状态价格.pptx

第三章状态价格

求是招新自硬弘极

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本章内容提要

·测度变换

·拉东——尼柯迪姆导数过程

(Radon-Nikodym)

·资本资产定价模型

本节主要讨论与欧式衍生证券的风险中性定价相联系的测度变换，同时为连续时间模型中的测度变换打下基础

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2

真实概率测度

对资产价格的不同路径给出了不同的权重

风险中性概率测度

(资产价格的无风险贴现过程是一个鞅)

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一、测度变换

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Z称做p关于P的拉东—尼柯迪姆导数。

在有限样本空间下，是一个商

Radon-Nikodym导数

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Radon-Nikodym导数的性质

定理3.1.1设P和P是有限样本空间Ω上的两个概率测度，对任意的

w∈2,P(w)0,P(u)0,定义随机变量Z如式(3.1.1)。我们有：

(i)P(Z0)=1;

(ii)EZ=1;

(iii)对任意的随机变量Y,有：

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EY=E[ZY]

(3.1.2)

【证明】根据我们的假定：对任意的w∈Ω,P(w)0,F(a)0,

立即可得。性质(ii)可由以下计算验证：

最后的等式由户是概率测度得出。以下类似的计算可验证性质(ii);

定理3.1.1证明

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性质(i

作为出现正面的真实概率作为出现背面的真实概率。

S₃(HHH)=32

S₂(HH)=16

例3.1.2考虑图3.1.1中的三时段模型。样本空间为：

Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT

S₃(HH)=S,(HTH)=S₃(THFD=8

S(HTT)=S₃(THT)=S₃(TTT)=2

图3.1.1三时段模型

S₂(HT)=S₂(TH)-4,

S₃(TTT)=0.5

S₂(TD)=1

S₁(H)=8

S(T)=2

S₀=4

真实概率测度为：

,P,P

,:

取利率,则出现正面的风险中性概率 风险中性概率测度为：

,P

,:

(3.1.3)

出现背面的风险中性概率

(3.1.4)

于是，沪关于P的拉东一尼柯迪姆导数为：

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UNUVERSITY

(3.1.5)

(3.1.6)

=1.376

入

命

◆

,

■

4

y

不用到风险中性概率测度的情形

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(3.1.7)

=1.376

其中#H(un