第6讲 圆和扇形重叠问题（教师版）.docx

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PAGE5/自招A六年级秋季第六讲

圆和扇形的重叠问题第六讲

圆和扇形的重叠问题

第六讲

重点

学会利用圆和扇形周长和面积公式解题；

善于利用切割法、旋转法、等积变换、容斥原理将不规则图形面积转化为规则图形面积；

难点

熟练利用各种简单方法将不规则图形面积转化；

注意按照题意是否保留，计算准确！

⑴一个半圆形的周长是厘米，这个圆的周长是厘米.

⑵已知大圆的周长是小圆周长的倍，小圆的面积比大圆面积少，那么小圆的面

积是

⑶一个长分米，宽分米的长方形中剪一个最大的圆，则圆的周长是_分米.

⑷圆形花坛的周长是，在离花坛的外面围上一圈栏杆，栏杆至少长

________米.

⑴⑵⑶⑷

圆与扇形的基本概念

圆的定义：

圆是到平面上定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径．

与圆有关的概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫直径．

弧：圆上任意两点间的部分叫弧．

半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧．

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角．

圆的性质

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，

圆心是它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合．

与圆有关的计算

⑴圆的周长与弧长公式

圆的周长：（，圆周率是个无限不循环小数）

弧长：（为圆心角度数）

扇形周长：

⑵圆面积公式与扇形面积公式

圆的面积：．

扇形面积：（扇形的半径为，圆心角为，弧长为）．

★☆☆☆☆

⑴已知扇形的弧长是米，圆心角是，那么这个扇形的面积是（）.

A.B.C.D.

⑵半径为的圆与圆心角为的扇形面积相等，则扇形的半径为（）厘米.

A.B.C.D.

⑶一个扇形的面积是平方厘米，圆心角为，当这个扇形的半径不变而圆心角增

加了以后，这个扇形的面积是（）平方厘米.

A.B.C.D.

⑷已知扇形弧长是米，面积是平方米，这个扇形的圆心角是.

⑴由，得，所以（平方米）

⑵，所以（厘米）

⑶两个扇形面积之比为，所以大扇形面积为平方厘米.

⑷由题意得，，解得，即圆心角为度.

★☆☆☆☆

已知一座时钟的分针与时针的长度之比为，从下午到下午，分针的针尖走过的距离是，分针扫过的面积为，则在这段时间内，时针的针尖走过的距离是，时针扫过的面积为.（结果保留）

分钟内分针转了度，由，得，扫过的面积为，

因为时针半径为，分钟转了度，所以时针针尖走过的距离是，时针扫过的面积为.

★★☆☆☆

⑴如图，两个同心圆圆心为，大圆半径、分别交小圆于．，若四边形的面积为，则图中阴影部分面积为()

A.B.C.D.

⑵如图，大正方形的面积是平方厘米，则圆环面积是多少？（结果保留）

⑴选C，，所以阴影面积为.

⑵大正方形面积为平方厘米，则大正方形边长为厘米，所以大圆的半径为厘米，设小圆的半径为，由勾股定理可知，所以，所以阴影部分的面积为（平方厘米）.

切割法解阴影部分面积

★★★☆☆

如图所示，四分之一大圆的半径为，分别求出阴影部分Ⅰ和Ⅱ的面积．（取）

四分之一扇形面积为（），

两个半圆面积之和为（），

因为，所以，又因为阴影部分面积总和为大扇形减等腰三角形，

即（），所以（）.

★★★☆☆

如图，正方形的边长为，正方形的个顶点和条边分别为个圆的圆心和半径，求阴影部分的面积.（结果保留）

如图，由割补法得阴影部分面积为

★★★☆☆

如图，为等腰直角三角形，其中厘米，分别以,为圆心做直角扇形，求阴影部分的面积是多少？（结果保留）

将右侧图形绕点旋转，即可拼成右上图形状，

阴影部分面积即相当于半径为厘米的半圆中减去直角边为厘米的等腰直角三角形的面积.

（平方厘米）．

★★★★☆

如图，边长为的两个正方形、正方形并排放置，以为边向内侧作等边三角形，分别以为圆心，为半径画弧．求阴影部分面积．（结果保留）

或者如最右图所示，作答．

★★★★☆

已知如图：正方形的边长为

⑴求图一阴影部分的周长

⑵求图二阴影部分的面积

⑶求图三阴影部分的面积

（结果保留）

⑴

⑵

⑶

容斥原理

★★★☆☆☆

⑴下图中两个四分之一圆弧的半径分别为和，求这两个