数值分析第五版_李庆扬_课后习题答案.docx

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第一章绪论

1.设x0,x的相对误差为δ,求Inx的误差。

解：近似值x的相对误差为

进而有ε(lnx*)≈δ

2.设x的相对误差为2%,求x”的相对误差。

解：设f(x)=x,则函数的条件数为

又∵f(x)=nx*,:

又∵ε,((x*)n)≈Cg·E,(x*)

且e,(x*)为2

∴E((x*))≈0.02n

3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个

单位，试指出它们是几位有效数字：x=1.1021,x?=0.031,x=385.6,

x?=56.430,x=7×1.0.

解：x?=1.1021是五位有效数字；

x?=0.031是二位有效数字；

x?=385.6是四位有效数字；

x?=56.430是五位有效数字；

x;=7×1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)x+xz+x,(2)x;x?x;,(3)x;/x

其中x,xz,x?,x均为第3题所给的数。

解：

2

(1)e(xí+x?+x?)

=ε(x?)+e(x?)+e(x?)

=1.05×10~3

(2)e(x;x?x;)

=|x;xe(x;)+kx;e(x;)+kxx;e(x)

≈0.215

(3)e(x;/x?)

=10~5

5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

解：球体体积为

则何种函数的条件数为

∴e,(V*)=C,PE,(R*)=3e,(R*)

又∵ε,(V*)=1

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故度量半径R时允许的相对误差限

6.设Y?=28,按递推公式(n=1,2,…)

计算到Y。若取√783≈27.982(5位有效数字),试问计算Y将有多大误差?

解：

****…·

依次代入后，有

即Y=Y-√783,

若取√783≈27.982,∴Yoo=Y6-27.982

∴Y的误差限；

7.求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有4位有效数字(√783=27.982)。

解：x2-56x+1=0,

故方程的根应为x??=28±√783

故x?=28+√783≈28+27.982=55.982

∴x?具有5位有效数字

x?具有5位有效数字

8.当N充分大时，怎样求

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解

设α=arctan(N+1),β=arctanN。

则tanα=N+1,tanβ=N.

=a-β

=arctan(tan(a-β))

9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?

解：正方形的面积函数为A(x)=x2

∴ε(A*)=2Ae(x*).

当x*=100时，若ε(A*)≤1,

则

故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2

10.设假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增

加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：

∴e(S*)=gt2Te(t*)

当t*增加时，S*的绝对误差增加

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当t*增加时，ε(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。

11.序列{y,.}满足递推关系y,=10y,-1(n=1,2…),

若y?=√2≈1.41(三位有效数字),计算到y?时误差有多大?这个计算过程稳定

吗?

解：∵y?=√2≈1.41

又∵y,=10y,--1

∴y?=10y。-1

∴ε(y?*)=10e(y?*)

又∵y?=10y-1

∴ε(y?*)=10e(y?*)

∴ε(y?*)=102e(y。*)

∴ε(y?*)=101?e(y,*)

计算到y时误差为这个计算过程不稳定。

12.计算f=(√Z-1)?,取√Z≈1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最

好?

(3-2√2)3,

99-70√2,

解：设y=(x-1)?,

若x=√2,x2=1.4,则

若通过计算y值，则

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=2.53y2?(x2)

若通过(3-2√2)计算y值，则

e(y)=|-3×2×(3-2x)2|e(x)

=30y?(x2)

若通过·计算y值，则

=1.0345yε(x)

通过计算后得到的结果最好。

13.f(x)=1n(x-√x2-1),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误

差有多大?若改用另一等价公式。In(x-√x2-1)=-ln(x+√x2-1)

计算，求对数时误差有多大?

解

∵f(x)=ln(x-√F2-1),∴f(30)=ln(30-√899)

设u=√899,y=f(30)

则u=29.9833

故

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≈3×1