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平面几何中的几个重要定理

自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容

和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了

毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，

人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何

学的历程.

这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。

一、塞瓦定理

塞瓦（G．Ceva1647—1743），意大利著名数学家．

SABCABC

塞瓦定理设为三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS分别和的边或三边的

BPCQAR

延长线交于P,Q,R（如图1），则1．

PCQARB

AQ

R

QA

SS

R

BCC

PPB

图1

证明（面积法）考虑到△ABS与△ACS有公共底边AS，因此它们面积之比等于分别从顶点

BC向底边AS所引垂线长的比，而这个比又等于BP与PC之比，所以有

P174

同理可得

三式相乘，即得

··=··=1

1

与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．

塞瓦定理逆定理设P,Q,R为ABC的边或三边的延长线上的三点（P,Q,R都在三边

上或只有其中之一在边

上），如果有A

R

Q

R

QA

S

BCB

PPC

图2

BPCQAR

1，则三直线AP,BQ,CR交于一点或互相平行．

PCQARB

证明因三点PQR中必有一点在三角形的边上，不妨假定P点在BC边上。

若BQ与CR相交，设交点为S，又设AS和BC的交点为P’，由塞瓦定理，应有

··=1

与已知条件中的式子比较，得