《导数的概念》PPT课件.pptx

第一节导数的概念

一、问题的提出

一、问题的提出

1、瞬时速度问题

设运动物体的运动方程为s=s(t),则在t与to

之间平均速度

to时刻的(瞬时)速度

2、切线问题

切线——割线的极限位置上的直线

曲线C上M。点处的割线MN的斜率为

曲线C上M。点处的切线的斜率为

存在，则称y=f(x)在x₀可导(或导数存在、有导数),

并且称此极限为y=f(x)在x,的导数,可记之为

v,rx),,

注意“导数为o”时不可导，即导数不存在。

二、导数的定义

1定义

设y=f(x)在某个U(x₀)上有定义。若

·

右导数:y/x=x。=f(x₀)。

双侧、单侧导数的关系f(x₀)=A(或，±0)

一f(x₀)=f(x₀)=A(或o,±0)

可导性是局部性质。

2单侧导数：

3区间上可导性的定义

若f(x)在区间I的内部处处可导，并且在I所含

的左(右)端点处右(左)导数存在，则称f(x)在区

间I上可导。

导函数

以D={x|f(x)存在}为定义域，以x→f(x)为对应法则的函数叫做y=f(x)的导函数，可记作

y,f(x,,d

对记号v,rx),,

可有两种理解:...

三、由定义求导数

例1求f(x)=C(C为常数)的导数.

=0.

即(C)=0.

.(sinx)=cosx.

=nxn-1

一般地(x“)=μx(μ≠0)

例3求y=x(n∈N+)的导数

即(a*)=a*Ina.(e*)=e*。

*例4求a*(a0,a≠1)的导数.

*例5求y=log,x(a0,a≠1)的导数。

imlog.1+=110%。e=xtna

::

:2

●

有f(0)≠f(0),

∴f(x)=|x|在x=0点不可导.

例6讨论f(x)=x在x=0处的可导性.

例7讨论f(x)=³x在x=0处的可导性.

:∴f(x)=3x在x=0点不可导.

例8求曲线在点

法线方程.

所求切线方程为

法线方程为

即4x+y-4=0.

5

即2x-8y+15=0.

处的切线方程和

解由导数的几何意义，得切线斜率为

9

四、导数的几何意义

f(x₀)为曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线

的斜率；

f(x₀)为左切线的斜率;f(x₀)为….

曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线方程为

y=f(x₀)(x-x₀)+f(x₀);

五、可导与连续的关系

定理可导→连续.

证设f(x)在点x,可导，

mf()-r(xm(x-x)=f(x)-0=0

∴f(x)在点x₀连续.证毕

注意：该定理的逆定理不成立。即连续可导

★连续但不可导函数举例

在x=0处的连续性与可导性.

∴f(x)在x=0处不可导.

不存在(也非).

例9讨论

1/πx

-1/π

y

0

*例10求x“(常数μ≠0)的导数

∴(x“)=μx”-1.