第6讲 圆和扇形重叠问题（学生版）.docx

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PAGE5/自招A六年级秋季第六讲

圆和扇形的重叠问题第六讲

圆和扇形的重叠问题

第六讲

重点

学会利用圆和扇形周长和面积公式解题；

善于利用切割法、旋转法、等积变换、容斥原理将不规则图形面积转化为规则图形面积；

难点

熟练利用各种简单方法将不规则图形面积转化；

注意按照题意是否保留，计算准确！

⑴一个半圆形的周长是厘米，这个圆的周长是厘米.

⑵已知大圆的周长是小圆周长的倍，小圆的面积比大圆面积少，那么小圆的面

积是

⑶一个长分米，宽分米的长方形中剪一个最大的圆，则圆的周长是_分米.

⑷圆形花坛的周长是，在离花坛的外面围上一圈栏杆，栏杆至少长

________米.

⑴⑵⑶⑷

圆与扇形的基本概念

圆的定义：

圆是到平面上定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径．

与圆有关的概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫直径．

弧：圆上任意两点间的部分叫弧．

半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧．

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角．

圆的性质

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，

圆心是它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合．

与圆有关的计算

⑴圆的周长与弧长公式

圆的周长：（，圆周率是个无限不循环小数）

弧长：（为圆心角度数）

扇形周长：

⑵圆面积公式与扇形面积公式

圆的面积：．

扇形面积：（扇形的半径为，圆心角为，弧长为）．

★☆☆☆☆

⑴已知扇形的弧长是米，圆心角是，那么这个扇形的面积是（）.

A.B.C.D.

⑵半径为的圆与圆心角为的扇形面积相等，则扇形的半径为（）厘米.

A.B.C.D.

⑶一个扇形的面积是平方厘米，圆心角为，当这个扇形的半径不变而圆心角增

加了以后，这个扇形的面积是（）平方厘米.

A.B.C.D.

⑷已知扇形弧长是米，面积是平方米，这个扇形的圆心角是.

★☆☆☆☆

已知一座时钟的分针与时针的长度之比为，从下午到下午，分针的针尖走过的距离是，分针扫过的面积为，则在这段时间内，时针的针尖走过的距离是，时针扫过的面积为.（结果保留）

★★☆☆☆

⑴如图，两个同心圆圆心为，大圆半径、分别交小圆于．，若四边形的面积为，则图中阴影部分面积为()

A.B.C.D.

⑵如图，大正方形的面积是平方厘米，则圆环面积是多少？（结果保留）

切割法解阴影部分面积

★★★☆☆

如图所示，四分之一大圆的半径为，分别求出阴影部分Ⅰ和Ⅱ的面积．（取）

★★★☆☆

如图，正方形的边长为，正方形的个顶点和条边分别为个圆的圆心和半径，求阴影部分的面积.（结果保留）

★★★☆☆

如图，为等腰直角三角形，其中厘米，分别以,为圆心做直角扇形，求阴影部分的面积是多少？（结果保留）

★★★★☆

如图，边长为的两个正方形、正方形并排放置，以为边向内侧作等边三角形，分别以为圆心，为半径画弧．求阴影部分面积．（结果保留）

★★★★☆

已知如图：正方形的边长为

⑴求图一阴影部分的周长

⑵求图二阴影部分的面积

⑶求图三阴影部分的面积

（结果保留）

容斥原理

★★★☆☆☆

⑴下图中两个四分之一圆弧的半径分别为和，求这两个阴影部分的面积差.

（取）

⑵如图，在中，，，，分别以、为直径画半圆，求图中阴影部分的面积.（结果保留）

★★★☆☆

⑴如图所示，求阴影部分的面积.（结果保留）

⑵如图分别以的三边为直径作三个圆，已知三个圆公共部分（黑色部分）的面积为，三个圆各自独有的部分（灰色部分）的面积和为，则三角形的面积是多少？（用和表示）

⑶如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为，那么阴影部分的面积是多少？（取）

一块蛋糕是如图所示那样的正五边形，画虚线的部分是花纹．请问：把中央阴影的部分包围起来的条虚线的周长是多少？（虚线都是以蛋糕的顶点为中心画的半径为厘米的圆的一部分，圆周率按计算）

⑴用长为，宽为的长方形截最大的圆的面积是.（取）

⑵如果甲圆半径是乙圆半径的，那么乙圆面积是甲圆面积的．