第3讲 自招代数之不定方程（教师版）.docx

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PAGE4/自招A六年级秋季第三讲

自招代数之不定方程第三

自招代数之

不定方程

第三讲

重点

了解方程个数和未知数个数对方程是否有解的影响；

掌握不定方程常用的解法；

能够列不定方程组解应用题；

难点

掌握分离整系数的方法；

熟练解决多元不定方程组；

求方程的正整数解.

由整除特性得必为奇数，且，得，所以，

所以正整数解为或或或.

已知方程组，且，求的值.

解方程组得，所以.

不定方程（组）

不定方程概念

未知数个数多于方程个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）.

如就是一个二元一次不定方程.这个方程有无数多组解.比如，，等．

不定方程的解：

使不定方程等号两端相等的未知数的值叫做不定方程的解.不定方程的解不唯一.

然而有时候，很多题目并不需要求出不定方程的解，只需要利用未知数之间的关系.

不定方程的特殊解（主要是指整数解、正整数解等等）

主要解法有以下几种：

用整除和同余；

分离整系数法；

放缩法；

因式分解；

判别式法.

其中后两种方法涉及到因式分解和一元二次方程的内容，目前我们暂不考虑.

定理：设、、、为整数，则不定方程有：

定理1：若且不能整除，则不定方程没有整数解；

定理2：若是不定方程的一组整数解（称为特解），则

（为整数）是方程的全部整数解（称为通解）．

定理3：若是不定方程，的特解，则是方程

的一个特解．

★☆☆☆☆

⑴求的所有整数解（用通解形式表示）

⑵求方程的正整数解.

⑶求方程的正整数解.

⑴（为整数）

⑵由题意得，，

所以，得，

因为，即，得，所以或或，

当时，；当时，；当时，；

所以原方程的正整数解为或或.

⑶由题意得，，因为为整数，所以为整数，

不妨设，为整数，得，

当时，，此时，成立；

当时，，此时，成立；

当时，，此时，不成立；

所以原方程的正整数解为或.

★★☆☆☆

求方程的整数解.

由题意得:,，得，

整数解为、、、、、、

、

★★★☆☆

求方程的正整数解的组数.

当时，，得，共组解；

当时，，得，共组解；

当时，，得，共组解；

当时，，得，共组解；

当时，，得，共组解；

……

当时，，得，，共组解；

所以，共（组）解.

★★☆☆☆

已知，，且，求的值.

由题意得，解得，代入得原式.

★★★☆☆

⑴求方程组的非负整数解.

⑵求方程组的整数解.

⑴由题意得，解得，即，

因为均为整数，所以为整数，又因为均为非负整数，所以，

得，所以或或或，

所以原方程组的非负整数解为或或或

⑵由题意得，解得，所以为的因数，

得，

又因为，根据奇偶性质得同奇同偶，即和同奇同偶，

所以，得或或或，

代入得原方程组的整数解为或或或.

不定方程（组）的应用

★★★☆☆

大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱买百鸡，问：鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

设鸡翁只，鸡母只，鸡雏只，

由题意得，解得，所以为整数，

因为均为非负整数，所以，得，

所以或或或，代入得或或或

★★★☆☆

旭旭和阳阳去超市买水果，旭旭买了千克橘子、千克苹果和千克梨，共花了元，阳阳买了千克橘子、千克苹果和千克梨，共花了元，结账的时候碰到同学昊昊，昊昊买了千克橘子和千克苹果，那么昊昊需要花多少钱？

设橘子每千克元，苹果每千克元，梨每千克元，

由题意得，因为，

所以（元），所以昊昊需要花元钱.

★★★★☆

甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍．问甲库原来最少存粮多少袋？

设甲库中原有袋粮食，乙库中原有袋粮食，乙库调袋粮食到甲库后，甲库存粮时乙库的倍，由题意得，解得，

因为均为正整数，所以且，得，所以最小值为，此时，满足条件，所以甲库原来最少存粮袋.

已知，求不定方程的所有正整数解.

由，得，故，从而，

解得.解得或.

当时，，故.从而，

解得,所以.由，解得（舍去）.

当时，，故，则.解得，

所以或.由，解得,都不符合题意.

综上，原方程的解为或者.

⑴求方程的正整数解.

⑵求方程的整数解.

⑴由题意得，

因为为整数，则为整数，即，

又因为，即，

所以或或或或，

所以原方程的整数解为或或或或.

⑵由题意得:，即

因为为整数，则为整数，即，

又因为为奇数，所以或或或，

所以原方程的整数解为或或或.

求方程的正整数解个数.

当时，，共组正整数解；

当时，，共组正整数解；

当时，，共组正整数解；

以此类推，当时，，共组正整数解；

所以正整数解共（组）.

已知非零有理数满足方程组，求的值.

由题意得，解关于的方程组得，

则原式.

求方程组的正整数解.

由题意得，解关于的