第2讲 自招数论二（同余）（教师版）.docx

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PAGE8/自招A六年级秋季第二讲

自招数论二第二讲

自招数论二

第二讲

重点

了解同余的定义及应用；

熟练掌握并应用同余相关性质解题；

难点

同余的可乘性的应用；

费马小定理的应用；

求除以的余数.

因为，所以，所以余数为.

已知和除以大于的自然数所得的余数相同，求数的值.

易得即，所以.

同余的定义

如果两个整数除以正整数所得的余数相同，则称模同余，记为.

同余的性质

反身性：

对称性：

传递性：若，，则.

可加性：若，，则.

推论：

可乘性：若，则

推论：

推论：（为自然数）

特别的，若，且，则

且

特别的，若，则且．

【Fermat小定理】

若为质数，且，则

★☆☆☆☆

⑴除以的余数是.

⑵除以的余数是.

⑴

因为，，所以.

⑵因为，，，

所以

★★☆☆☆

在黑板上写有共个自然数，然后按下面的步骤进行操作：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，当黑板上只留下三个数时，其中一个是，一个是，还有一个数是多少？

除以余，在题目操作的过程中，剩下所有数的和除以的余数始终是，那么最后剩下的三个数的和除以的余数也应该是，且由于每次最后都添加一个一位数，所以剩下三个数中最后一个数必为一位数，所以这个数为.

★★☆☆☆

⑴除以的余数是.

⑵除以的余数是.

⑶除以的余数是.

⑴因为，所以

⑵因为，所以，

又因为，所以

⑶因为，所以，

又因为，所以

★★★☆☆

⑴求除以所得的余数.

⑵已知年的教师节是周一，在这以后第是星期几？

⑴因为，，所以，

又因为，，所以，

⑵因为，所以，

因为，，所以，所以是星期六.

★★☆☆☆

⑴证明：为非负整数，能被整除.

⑵已知为不超过的正整数，使得对任意正整数，都能被整除，则这样的正整数有多少个？

⑴因为，，所以，，

又因为，所以，得证.

⑵因为，，所以，，

所以，

因为，所以，，根据得，即，

所以满足条件的共有个，分别为，，，，，，.

★★★☆☆

求能整除的正整数的个数.

因为，所以，

所以，又因为，且，

所以的值共（个），即的值共有个.

★★★★☆

求除以所得的余数.

因为，所以，

因为，所以

又因为，所以，

所以，两式相减得.

★★☆☆☆

⑴这三个数除以的余数相同，则.

⑵除以的余数分别是，则.

⑴因为三个数同余，所以且，即且，

又因为，所以或或或或或

⑵由题意得，除以余，除以余，除以余，且，

所以，，

又因为，所以.

★★★☆☆

⑴除以的余数分别是，求的值.

⑵除以的余数分别是，求的最大值.

⑴由题意得，除以余，除以余，除以余，且.

所以，，

因为，所以.

⑵由题意得，除以余，除以余，除以余，且.

所以，，

因为，所以的最大值为.

★★★☆☆

⑴一个不大于的自然数除以余，除以余，除以余，除以余，则这个自然数是多少？

⑵一个四位数除以余，除以余，除以余，除以余，除以余，除以余，除以余，除以余，除以余，则这个数最小可能是多少？

⑶一个不大于的自然数，除以余，除以余，除以余，求这个数.

⑴设这个数为，则能被整除，因为，

所以，其中，由于，所以或.

⑵设这个数为，则能被整除，

因为，所以，其中

由于为四位数，所以的最小值为.

⑶除以余，除以余，除以余，设这个数为，则能被整除，

所以，，得或.

韩信点兵：有兵一队，千人以内.若列成五行纵队，末行三人；成七行纵队，末行二人；成二十三行纵队，末行十一人.求兵数.

法一：中国剩余定理，设，为整数，

除以余，得；

除以余，得；

除以余，得；

所以，

由于为三位数，所以.

法二：设这个数为，由题意得除以余，除以余，则除以余，

又因为除以余，所以除以余，除以余，，

所以，其中，由于为三位数，所以.

⑴除以余.

⑵除以余.

⑶除以余.

⑴由得，由得，

所以.

⑵，，

所以.

⑶，因为且，所以

.

求的末尾数.

，

则.

求除以的余数.

，，

则，所以.

已知除以的余数分别是，求的值.

易知，，，

则，，

所以，得

一个两位数，除以余，除以余，除以余，求这个数.

设这个数为，则能被整除，即能被整除，所以.

证明：对一切自然数，有.

，得证.

证明：当正整数不是的倍数时，能被整除．

设，其中，易证，

故，

分别将代入检验：时，，

时，．

即当正整数不是的倍数时，能被整除．

求证：对任意的自然数，不能被整除．

配对：

又，故．

则显然不能整除．