2010全国大学生数学建模竞赛C题2-3问的几何画板解法探析.doc

2010全国大学生数学建模竞赛C题2\3问的几何画板解法探析

[摘要]本文对2010全国大学生数学建模竞赛C题“输油管的布置”中2、3问所建立的模型进行了分析，探讨了利用“几何画板”进行求解这一巧妙的数学实验方法，并对这种方法的优缺点进行了分析。

[关键字]数学建模输油管的布置几何画板

2010全国大学生数学建模竞赛中，有较多参赛组选择了C题“输油管的布置”，其中2、3问题目如下：

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

工程咨询公司 公司一 公司二 公司三

附加费用（万元/千米） 21 24 20

请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

一、模型的分析

这个题目的模型比较容易建立，以C点为圆心建立坐标系后，其中第二问可归结为求函数

（21.4是对三家评估公司的评估结果处理后得出，根据处理方法不同，也可略有差别，下同）在约束条件下的最小值问题，第三问可归结为求函数

在约束条件下的最小值问题。

上述两问都是求非线性的三元函数在某一约束条件下的最小值问题。大部分的竞赛选手都能建立起求这两个函数最值的模型，并且能够利用lingo、matlab等数学软件进行求解。

二、模型的几何画板求解法

除此之外，笔者尝试了把题目在几何画板中进行几何模拟，利用“几何画板”中的度量与计算功能求解，得出了很好的结果。其具体做法是（以问题2为例）：1.在画板中绘制点A（0,5），B（20,8）过点作轴垂线。在坐标平面内绘制任意点O，在垂线上绘制任意点F，构造线段AO，FO，FB，并构造O点与轴之间的垂线段OE。（如下图）

2.度量上述线段的长度（即为相应管线的长度），并标记任意点O,F的坐标。

3.用画板计算出此时问题2、3模型中目标函数值，并进行标记。

4.拖动点O，使所标记目标函数值最小的位置，再拖动点F，然后再拖动点O。如此反复几次，当拖动O与F任何一个，目标函数都增大时，此时O,F坐标即为最优解，目标函数值即为最小费用。

三、几何画板解法的分析

由上图，x=5.45,y=1.85，z=7.36时取得最小值282.19。

而应用lingo软件可得结果如下

对比可知，两种方法的结果是一致的，只是lingo的结果比几何画板更精确。几何画板解法是把问题的情境模拟到几何画板中，利用画板的功能寻求最佳方案，可算作一种“模拟实验法”。

该解法的优点是直观易懂，可操作性强，并且可对问题进行深入分析。如可直观的看出改变O,F的位置时，总费用的改变量等，从而可以方便与其他非价格因素综合考虑。缺点是与lingo、matlab等数学软件比，精确度稍差。

但考虑到问题的实际意义，几何画板解法所得的精确度已经够用。因此它不失为一种独辟蹊径的巧妙解法。

参考文献：

[1]《初等极值问题》.程龙.上海教育出版社.1984.07.

[2]《与费马问题相关的几何不等式》.续铁权.数学通讯.1995.07.

作者单位：装甲兵技术学院基础部数学教研室