高中数学人教B版 必修第二册 向量基本定理 课件1.pptxVIP

6.2.1向量基本定理;1.共线向量定理

如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.

如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:

存在实数λ,使得;【思考】

(1)定理中的条件“a≠0”能否省略,为什么?

提示:不能.如果a=0,b≠0,不存在实数λ,使得b=λa.如果a=0,b=0,则对任意实数λ,都有b=λa.

(2)这里的“唯一”的含义是什么?

提示:如果还有b=μa,则有λ=μ.;2.平面向量基本定理

(1)定理:如果平面内的两个向量a,b不共线,则对该

平面内的任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),

使得c=xa+yb.

(2)基底:平面内不共线的两个向量a,b组成的集合

{a,b}称为该平面上向量的一组基底.;【思考】

(1)定理中的“不共线”能否去掉?

提示:不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.;(2)平面内的每一个向量都能用a,b唯一表示吗?

提示:是的,在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和,且这样的表示是唯一的.;【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底. ()

(2)若a,b是同一平面内两个不共线向量,则xa+yb(x,y为实数)可以表示该平面内所有向量. ();提示:(1)×.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.

(2)√.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a,b线性表示.

(3)×.当e1与e2共线时,结论不一定成立.

(4)×.基底向量是不共线的,一定是非零向量.;类型一共线向量定理的应用

【典例】设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,

与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线时,λ的值为()

A.0B.-1C.-2D.-;【解析】选D.因为向量a与b共线,所以存在唯一实

数u,使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2,

所以解得λ=-.;【素养·探】

本题主要考查向量共线条件的应用,突出考查了数学运算的核心素养.

本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m,n∈R)”其他条件不变,试求m+n的值.;【解析】因为向量a与b共线,所以存在唯一实数u,

使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.

所以所以m+n=0.;【类题·通】

向量共线定理:b与a(a≠0)共线?b=λa是一个等价定???,因此用它既可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值.;【习练·破】

已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.;【解析】因为ke1+e2与e1+ke2共线,

所以存在唯一实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),

即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,

只能有所以k=±1.;类型二平面向量基本定理的理解

【典例】1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:;2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是 ()

;【解析】1.选B.①不共线;②,则

共线;③不共线;④,则

共线.由平面内向量基底的概念知,只有不共线的两个

向量才能构成一组基底,故①③满足题意.;2.选A.选项B错误,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任一向量;选项C错误,在平面α内任一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;选项D错误,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是有无数对.;【内化·悟】

两个向量能否作为一组基底的条件是什么?

提示:两个向量在同一平面内,且不共线.;【类题·通】

对平面向量基本定理的理解

(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=xa+yb,且x=y=0.;(2)对于固定的不共线向量a,b而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.;【习练·破】

已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足

(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y=________.?;【解析】因为平面向量e1,e2是一组基底,所以向量

e1,e2不共线,所以