高中数学立体几何多选题知识点及练习题附解析.doc

高中数学立体几何多选题知识点及练习题附解析

一、立体几何多选题

1．如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（）．

A．

B．当时，三棱锥的外接球体积为

C．当时，三棱锥的体积为

D．当时，点到平面的距离为

【答案】ACD

【分析】

A选项：证明面，得；

B选项：当时，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥的外接球体积；

C选项：利用等体积法求三棱锥的体积；

D选项：利用等体积法求出点到平面的距离.

【详解】

A选项：正方形

由折叠的性质可知：

又

面

又面，

；故A正确.

B选项：当时，

在中，，则

由A选项可知，

三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，

把三棱锥放置在长方体中，可得长方体的对角线长为，

三棱锥的外接球半径为，体积为，

故B错误

C选项：当时，

在中，，

则

故C正确；

D选项：设点到平面的距离为，则

在中，，

则

即

故D正确；

故选：ACD

【点睛】

方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．

2．在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（）

A．

B．三棱锥的体积为

C．且平面

D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

【答案】ABD

【分析】

A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.

【详解】

A．，故正确；

B．，因为为中点且，所以，

又因为平面，所以且，所以平面，

又因为，，

所以，故正确；

C．假设成立，又因为平面，所以且，

所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；

取中点，连接，如下图所示：

因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，

又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；

D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，

根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：

（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；

（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.

3．如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，，且，，分别是，的中点，D，M分别是，上的两个动点，则（）

A．FM与BD一定是异面直线

B．三棱锥的体积为定值

C．直线与所成角为

D．若D为中点，则四棱锥的外接球体积为

【答案】CD

【分析】

A当特殊情况与B重合有FM与BD相交且共面；B根据线面垂直、面面垂直判定可证面面，可知、D到面的距离，可求；C根据线面垂直的判定及性质即可确定与所成角；D由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误.

【详解】

A：当与B重合时，FM与BD相交且共面，错误；

B：由题意知：，且，则面，又面，面面，所以面面，又，D到面的距离为，所以，错误；

C：由，，，所以面，又，即面，而面，则，正确；

D：由B中，面面，即面面，则D到面的距离为，又D为中点，若交点为O，为中点，连接，则，故，由矩形的性质知：，

令四棱锥的外接球半径为R，则，所以四棱锥的外接球体积为，正确.

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.

4．如图，已知四棱锥所有棱长均为4，点M是侧棱上的一个动点（不与点重合），若过点M且垂直于的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）

A．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形

B．截面和底面所成的锐二面角为

C．当时，截面的面积为

D．当时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为，则

【答案】BCD

【分析】

点M是侧棱上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可.

【详解】

A选项中，如图，连接BD，当M是PC中点时，，

由题意知三角形PDC与三角形PBC都是边长为4的正三角形，所以,，又DM，BM在面MBD内，且相交，所以平面PBD，三角形MBD即为过点M且垂直于的截面，此时是三角形，点M向下移动时，，如图，仍是三角形；

若点M由中点位置向上移动，，在平面PDC内作，交PD于E，

在平面PBC内作交PB于F，平面MEF交平面PAD于EG，交PAB于FH