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6.5多元函数的极值与最值多元复合函数的求导法则隐函数的求导法主要内容
6.5.1二元函数的极值一.复习引入在实际问题中，经常会遇到求多元函数的最大值、最小值问题．例如，如何设计长方体的长、宽和高，使得容积一定的情况下用料最省，等等．与一元函数的最大值、最小值类似，多元函数的最大值、最小值也与多元函数的极值有关，下面就来讨论多元函数的极值与最值问题．多元函数的极值与最值
?6.5.1二元函数的极值
与一元函数类似，关于二元函数的极值有下面一些结论．6.5.1二元函数的极值?说明:(1)偏导数存在的极值点必定是驻点．但是，函数的驻点不一定是极值点．
?6.5.1二元函数的极值?(2)二元函数极值的定义与定理5.6可以推广到三元或三元以上的函数.
?6.5.1二元函数的极值
?6.5.1二元函数的极值?????解????
6.5.1二元函数的极值??解?
◆求闭区域D上连续且可导的多元函数最值的步骤为：6.5.2多元函数的最大值与最小值由闭区域上连续函数的性质知，有界闭区域D上的连续函数必有最大值与最小值.假定在区域D内可导，如果最值点出现在区域D的内部，那么它一定是极值点，因而也是驻点；如果最值点出现在区域D的边界上，那么它一定是边界曲线的最值.?（2）计算驻点处的函数值；（3）计算区域D的边界上的函数的最值；（4）比较（2）、（3）中函数值的大小得区域D上的最大值与最小值.
解解方程组6.5.2多元函数的最大值与最小值????????
6.5.2多元函数的最大值与最小值在实际问题中，如果根据条件和经验知道函数在区域D内有最大值或最小值，而且在区域D内又只求得唯一驻点．那么，可以直接得出结论：该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值．例3用3m2的薄铁板做成一个无盖的长方体容器，问如何设计才能使长方体容器的容积最大，最大值是多少？??图5.17长方体的表面积为?
6.5.2多元函数的最大值与最小值由式（5.9）得把式（5.10）代入式（5.8），得?(5.10)???解方程组?得的唯一驻点为(1,1)?由经验可知，当表面积已知时，长方体的容器可达到最大，并且这个最大值在该驻点取得．?
6.5.3条件极值??对于简单的条件极值问题，可以象例3一样化为无条件极值来求．但是，很多情况下将条件极值化为无条件极值是比较困难的，下面介绍一种常用的求条件极值的方法——拉格朗日乘数法．
6.5.3条件极值???
6.5.3条件极值??
6.5.3条件极值??x图5.18y?
6.5.3条件极值??x图5.18y解方程组??构造辅助函数
6.5多元函数的极值与最值一、小结1.二元函数的极值及求法；二元函数极值的充分条件及应用.2.多元函数的最大值与最小值及求法；二、课堂自测题（二维码）3.条件极值及求法拉格朗日乘数法求条件极值.
谢谢聆听!6.5多元函数的极值与最值
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