辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题.docxVIP

沈阳二中2023—2024学年度下学期4月阶段测试

高一（26届）数学试题

命题人：高一数学组审校人：高一数学组

说明：1．考试时长120分钟，满分150分．

2．考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效．

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，，则集合中的元素个数为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知平面向量，，若，则（）

A．或 B．或 C．或3 D．或3

3．（）

A． B． C． D．

4．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为．他又派人测得，两地的距离，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（）（）

A． B． C． D．

5．已知，，均为单位向量，且满足，则（）

A． B． C． D．

6．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

7．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（）

A．3 B．6 C．7 D．9

8．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．在等腰中，已知，，若、、、分别为的垂心、外心、重心和内心，则下列四种说法正确的有（）

A． B． C． D．

10．下列说法中正确的有（）

A．与垂直的单位向量为

B．已知在上的投影向量为且，则

C．若非零向量，满足，则与的夹角是

D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是

11．函数（，，）的部分图象如图所示，则（）

A．

B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数

C．的图象关于点对称

D．若方程在上有且只有6个根，则

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则________．

13．求值________．

14．已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且．则为函数的“子母数”．已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为________．

四、解答题

15．（本题满分13分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．

（1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；

（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值；

16．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于，两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是．

（1）求的值：

（2）求的值．

17．（本题满分15分）已知函数．

（1）若为偶函数，求函数的定义域；

（2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

18．（本题满分17分）已知向量，，函数．

（1）求的值；

（2）当时，方程有解，求实数的取值范围；

（3）是否存在正实数，使不等式对所有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

19．（本题满分17分）已知为坐标原点．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．

（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；

（2）设，试求函数的相伴特征向量．并求出与共线的单位向量；

（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

沈阳二中2023—2024学年度下学期4月阶段测试

高一（26届）数学试题答案

一、单选题

1

2

3

4

5

6

7

8

B

A

C

C

B

B

B

B

二、多选题

9

10

11

ABC

BC

AD

三、填空题

12． 13． 14．

四、解答题

15．（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式