（解析版）2022-2023学年杨浦区同济大学一附中高二（下）期中数学试卷.docx

2022-2023学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（1—6题每小题4分，7—12每小题4分，满分54分）

1．（4分）若，α是第二象限角，则cosα＝．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．

【解答】解：因为，α是第二象限角，

所以cosα＝﹣＝﹣＝．

故答案为：．

2．（4分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），且∥，则x＝﹣6．

【分析】利用向量共线的充要条件列出方程存在实数λ使得即解方程求出x的值．

【解答】解：因为，且，

所以存在实数λ使得

即

解得x＝﹣6．

故答案为﹣6．

3．（4分）若复数z＝（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．

【分析】根据纯虚数的概念，确定复数的实部和虚部满足的条件即可．

【解答】解：z＝（1+mi）（2﹣i）＝2+m+（m﹣1）i，

∵复数z＝（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，

∴2+m＝0，

即m＝﹣2，

故答案为：﹣2．

4．（4分）计算＝2．

【分析】直接由无穷递缩等比数列所有项和公式求解．

【解答】解：＝＝．

故答案为：2．

5．（4分）已知f（x）＝cos2x，则f′（x）＝﹣2sin2x．

【分析】利用复合函数的导数求法求解．

【解答】解：令u＝2x，则y＝cosu，u＝2x；

y′＝（cosu）′?u′＝﹣2sin2x．

故答案为：﹣2sin2x．

6．（4分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为169.1石（精确到小数点后一位数字）

【分析】根据抽样比例求出这批米内夹谷的多少．

【解答】解：根据题意，这批米内夹谷为

1534×≈169.1（石）．

故答案为：169.1．

7．（5分）已知，则＝．

【分析】先求出f（2+h）﹣f（2），然后代入中求解即可．

【解答】解：因为，

所以，

所以．

故答案为：．

8．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率e＝．

【分析】根据双曲线的渐近线方程为y＝±x，求出a，b之间的关系，再代入离心率e结合a，b，c之间的关系即可求出结论．

【解答】解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，

可得：＝，

∴e＝＝＝．

故答案为：．

9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．

【分析】利用等体积法，即＝，求点A到平面A1DB的距离．

【解答】解：构造三棱锥A﹣A1DB，并且有＝，

因为＝sh＝××1×1×1＝，

所以＝＝．

设点A到平面A1DB的距离为x，

又因为＝×SA1BD×x＝×××x＝，

所以x＝，即点A到平面A1DB的距离为．

故答案为：

10．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像如图所示，以下结论正确的序号是（1）（3）（4）．

（1）﹣3是函数y＝f（x）的极值点；

（2）﹣1是函数y＝f（x）的极小值点；

（3）y＝f（x）在区间（﹣3，1）上严格增；

（4）y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零．

【分析】根据已知条件，利用导数研究函数的极值，即可求解．

【解答】解：当x∈（﹣∞，﹣3）时，f（x）＜0，当x∈（﹣3，+∞）时，f（x）≥0，

故﹣3是函数y＝f（x）的极值点；﹣1不是函数y＝f（x）的极小值点；

y＝f（x）在区间（﹣3，1）上严格增；

所以（1）（3）正确，（2）错误；

由图象可知，f（0）＞0，

则y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故（4）正确．

故答案为：（1）（3）（4）．

11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的取值范围为．

【分析】设P（x，y），则，由两点距离公式即可得所求取值的函数，进而讨论范围，即可得出答案．

【解答】解：由题意得O（0，0），F（﹣1，0），

设P（x，y），则，

则．

故答案为：．

12．（5分）已知数列{an}为严格递增数列，且对任意n∈N，n≥1，都有an∈N且an≥1．若对任意n∈N，n≥1恒成立，则a2021﹣a1999＝66．

【分析】根据题意，分析可得a1＝2，进而迭代求出a2，a3，……a1458的值，结合数列严格递增的定义可得a1292＝2021，a1270＝1999，由此可得a2021和a1999的值，据此计算可得答案．

【解答】解：根据题意，若对任意n∈N，n≥1恒成立，则＝3，

又由an≥1，且数列{an}为严格递增数列，则a1＝1或a1＝2，

若a1＝1，则有＝a1＝3，两者相矛