（解析版）2022-2023学年大同中学高二（下）期中数学试卷.docx

2022-2023学年上海市大同中学高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）

1．（3分）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么m＝1．

【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．

【解答】解：过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45°，

则kPQ＝tan45＝1，

又．

故答案为：1．

2．（3分）直线ax+2y﹣1＝0与直线（a﹣1）x+y+2＝0平行，则a＝2．

【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．

【解答】解：两直线平行，则．

故答案为：2．

3．（3分）过点A（2，﹣1）与B（1，2）半径最小的圆的方程为

【分析】先确定圆心和半径，从而写出它的标准方程．

【解答】解：过点A（2，﹣1）与B（1，2）半径最小的圆，是以AB的中点C为圆心，半径等于AB的圆．

∵C（，），AB＝＝，

故该圆的方程为，

故答案为：．

4．（3分）已知椭圆+＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m＝8．

【分析】根据条件可得a2＝m﹣2，b2＝10﹣m，c2＝a2﹣b2＝2m﹣12，由焦距为4，即c＝2．即可得到m的值．

【解答】解：由椭圆+＝1的长轴在y轴上，

则a2＝m﹣2，b2＝10﹣m，c2＝a2﹣b2＝2m﹣12．

由焦距为4，即2c＝4，即有c＝2．

即有2m﹣12＝4，解得m＝8．

故答案为：8

5．（3分）若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是．

【分析】由题意可得2a＝，即c＝3a，再由a，b，c之间的关系求出a，b的关系，进而可求出渐近线方程．

【解答】解：由题意得，所以，

所以渐近线方程为．

故答案为：．

6．（3分）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p＝4．

【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．

【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，

可得：，

解得p＝4．

故答案为：4．

7．（3分）过点P（﹣2，2）作直线l与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝2相切，则直线l的一般式方程是x﹣y+4＝0．

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，然后求解直线方程．

【解答】解：设直线l：y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝2的圆心是（﹣1，1）．

由题得圆心C到直线的距离d等于圆半径r，

即d＝＝，解得k＝1，

∴直线l的方程为x﹣y+4＝0．

故答案是：x﹣y+4＝0．

8．（3分）设F1和F2为椭圆4x2+2y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积是．

【分析】由椭圆的方程求得a、b、c，根据，得到点P为短轴顶点，代入三角形面积公式即可求解．

【解答】解：由题意可得，

因为，所以点P为短轴顶点，

所以．

故答案为：．

9．（3分）若椭圆+＝1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为．

【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程后作差，整理后即可得到弦所在直线的斜率的等式，代入弦中点坐标后即可得到

【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则+＝1，①，

+＝1，②．

①﹣②得：＝﹣．

∵点（1，2）是弦的中点

∴x1+x2＝8，y1+y2＝4，

∴k＝＝﹣．

故答案是﹣．

10．（3分）从双曲线上任意一点P分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR，则该平行四边形的面积为．

【分析】设P（x0，y0），过点P分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点Q、R，联立可得Q、R的坐标，利用平面向量数量积即可求解．

【解答】解：从双曲线上任意一点P分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR，

设P（x0，y0），过点P分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点Q、R，

，

同理可知另一个交点为，

则，

所以

＝，

则该平行四边形的面积为．

故答案为：．

11．（3分）直线y＝x+3与曲线＝1的公共点个数为3．

【分析】分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线＝1为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线＝1为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y＝x+3与曲线＝1的图象，就可找到交点个数．

【解答】解：当x≥0时，曲线＝1的方程为

当x＜0时，曲线＝1的方程为，

∴曲线＝1的图象为右图，

在同一坐标系中作出直线y＝x+3的图象，

可得直线与曲线交点个数为3个．

故答案为3

12．（3分）已知对曲线的左、右焦点分别的F1、F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l交C的右支于A、B两点（A在x轴上方），且满足，则