初中数学60个几何模型专题复习：模型57 12345模型.docxVIP

模型57“12345”模型

模型故事

为什么叫“12345”模型

何为“1,2,3”?

如图，“tan

何为“4,5”?

如图，当满足tanα=

对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型.

模型展现

基础模型

在如图所示的大小相同的小正方形方格内

图示

结论

1.如图①,若tan∠DAF=13tan∠BAE=12则∠DAF+∠BAE=45°;(12

2.如图①,若tan∠DFA=3,tan∠AEB=2,则∠DFA+∠AEB=135°;(“3”+“2”=135°)

3.如图②,若tan∠AFG=13,tan∠AEB=2则∠AEB-∠AFG=45°;(“2”-1

4.如图③,若tan∠DFA=3,tan∠AEH=12则∠DFA-∠AEH=45°;(“3”-1

怎么用

1.找模型

在网格、四边形、坐标系等中涉及几何问题时，隐含特殊的正切值“1”“2”“3”“12”“1

2.用模型

运用特殊的正切值及“12345”模型，将45°、90°这两个特殊角度联系起来，简化此类题的运算

结论分析

结论3:如图①,若tan∠AFG=

证明：根据网格线计算可得，AE=

∵AE2+EF2=AF2,

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴∠EAF=45°,

∴∠AEB-∠AFG=∠DAE-∠DAF=∠EAF=45°.

(结论4证明同结论3)

模型拓展

拓展方向：结论中未直接给出“12345”模型

图示

结论

1.如图①,若tan∠AEB=2,tan∠FEC=则∠AEB+∠FEC=90°;(“2”+“12

2.如图②,若tan∠AEB=3,tan∠FEC=13则∠AEB+∠FEC=90°;(“3”+“1

3.如图③,若tan∠BDA=13,tan∠DBA=13则tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=34;(13”+1

4.如图④,若tan∠BDA=12,tan∠DBA=

则tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=43;(12”+12

结论1：如图①，若tan∠AEB=2,tan∠FEC=12

证明：根据网格线计算可得，AE=

∵AE2+EF2=AF2,

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴∠AEF=90°,

∴∠AEB+∠FEC=90°..(结论2证明方法同结论1)

结论3：如图②，若tan∠BDA=13,tan

证明：根据网格线计算可得.AB=5=AD,

∴∠DBA=∠BDA,

∵∠BDA+∠DBA=∠BAC,

∴tan

又∵tan

∴

(结论4证明方法同结论3)

模型典例

例1如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,将△ABE

沿AE折叠得到△AFE,延长EF交DC于点G,则DG的长为

()

A.34B.43C.32

例2在如图所示的网格中,A,M,C,N,F都在格点上,AN与CM相交于点P,则tan∠CPN的值为()

A.3B.33C.1

思路点拨

要求DG的长,构造含DG的直角三角形，结合题干已知条件利用正切值表示，分析发现正切值与特殊角满足“12345”模型，利用模型即可解题.

思路点拨

由网格图可得tan∠MCF=12

针对训练

1.如图,在矩形ABCD中,BC=3,CD=4,将△CDE沿DE翻折,使得点C恰好落在对角线BD上的点F处，则BE的长为.

2.模型构造如图，在边长为6的正方形ABCD中,点E为AB上靠近点A的三等分点,连接DE,点F,G分别为BC,AD上一点,连接FG交DE于点P,且∠EPF=45°,则GF的长为.

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于点E，交AB的延长线于点F，连接AE,若AB=8,BE=6,则BF的长为.

4.如图,在Rt△ABC中,AC=6,AB=8,以BC为直径画圆，D是AB的中点，连接CD，交AB于点E,则AEDE的值为

5.模型迁移如图，一次函数y=1

6.如图，抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A,B(3,0),C(0,3)三点,点P在抛物线上,PD⊥BC于点D,垂足D在线段BC上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若CDPD

模型57“12345”模型

模型典例

例1B【解析】如解图,连接AG,∵四边形ABCD是正方形,AB=4,且E是BC的