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专题8方程的应用——数轴上的动点问题
刷难关
距离问题
[2024广东广州期末,较难]在数轴上,点A在原点的左侧,点B在原点的右侧,点A距离原点12个单位长度,点B距离原点2个单位长度.
(1)点A对应的数为,点B对应的数为,两点之间的距离为;
(2)若点P为数轴上一点,且BP=2,求AP的长;
(3)若点N,Q,M同时向数轴负方向运动,点N从点A出发,点Q从原点出发,点M从点B出发,且点N的运动速度是每秒6个单位长度,点Q的运动速度是每秒8个单位长度,点M的运动速度是每秒2个单位长度.运动过程中,当其中一个点与另外两个点的距离相等时,求这时三个点对应的数各是多少.
相遇问题
2[2024河南洛阳期末,中]数轴体现了数形结合的数学思想,若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离表示为AB=|a-b|.如:点A表示的数为2,点B表示的数为3,则AB=|2-3|=1.
(1)问题提出:填空:如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为13,A,B两点之间的距离AB=,线段AB的中点表示的数为.
(2)拓展探究:若点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为t秒(t0).
①用含t的式子表示:t秒后,点P表示的数为,点Q表示的数为;
②求当t为何值时,P,Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)类比延伸:在(2)的条件下,如果P,Q两点相遇后按照原来的速度继续运动,当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向,并以原来的速度在线段AB上做往复运动,那么再经过多长时间P,Q两点第二次相遇.请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数.
追击问题
3[2024安徽安庆质检,较难]已知数是个大招鸭轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点R从B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,R同时出发,则点P运动秒时,追上点R.
专题8方程的应用——数轴上的动点问题
刷难关
解读|距离问题
1.表示终点:起点位置表示的数为a?,终点位置表示的数为a?±vt(v表示运动速度,t表示运动时间,向右为加,向左为减).
2.求距离:①相对位置确定时:距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数;
②相对位置不确定时:距离=|b-a|(a,b分别表示始点与终点所表示的数).
3.解方程.
1.【解】(1)因为点A在原点的左侧,距离原点12个单位长度,所以点A对应的数为-12,同理可得点B对应的数为2,所以A,B两点之间的距离为2-(-12)=2+12=14,故答案为-12,2,14.
(2)分两种情况:①当点P在点B的右侧时,AP=AB+BP=14+2=16;②当点P在点B的左侧时,AP=AB?BP=14?2=12..综上,AP的长是16或12.
(3)设运动的时间为t秒,则动点N,Q,M对应的数分别为-12-6t,-8t,2-2t.分三种情况:①当NQ=QM时,?8t??12?6t=2?2t?(-8t),所以t=54,此时,点N对应的数为?12?6×5
②当NQ=NM时,?12?6t??8t=2?2t?(-12-6t),所以
③因为点M的速度小,所以.MN=MQ不存在.综上,当其中一个点与另外两个点的距离相等时,点N对应的数为-19.5,点Q对应的数为-10,点M对应的数为-0.5.
大招解读|相遇问题
1.表示终点:起点位置表示的数为a?,终点位置表示的数为a?±vt(ν表示运动速度,t表示运动时间,向右为加,向左为减);
2.求距离:两点同时相对出发,相遇时,s?+s?=起始位置之间的距离,即v?t+v?t=|a??b?|;
3.解方程.
2.【解】(1)因为点A表示的数为-2,点B表示的数为13,所以AB=|13-(-2)|=15,线段AB的中点表示的数为13?22=112
(2)①t秒后,点P表示的数为-2+3t,点Q表示的数为13-2t.故答案为-2+3t,13-2t.
②根据题意得-2+3t=13-2t,解得t=3,相遇点所表示的数为-2+3×3=7.
所以当t为3时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是7.
(3)由已知得点P运动5秒到达点B,点Q运动152秒到达点A,返回途中,点P表示的数是13-3(t-5),点Q表示的数是
根据题意得13?3t?5
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