第一部分 专题二.DOCX

第一讲三角函数的图象与性质

[高考考向]1.任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式是高考的重点内容，多与三角恒等变换综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，难度中低档，考查考生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用．2.三角函数的图象与性质是高考考查的热点和重点，选择题、填空题、解答题都可考查．在客观题中注意与导数、三角恒等变换的结合，在解答题中注意与平面向量的结合，题目综合性强，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用．

授课提示：对应学生用书第9页

题型1三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式与诱导公式

[例1](2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为eq\f(2π,3)，集合S＝{cosan|n∈N*}．若S＝{a，b}，则ab＝()

A．－1 B．－eq\f(1,2)

C．0 D．eq\f(1,2)

[解析]由题意，得an＝a1＋(n－1)·eq\f(2π,3).又S＝{cosan|n∈N*}＝{a，b}，∴cosa1≠cosa2，但cosa1＝cosa3，即cosa1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(4π,3)))，

∴a1＋a1＋eq\f(4π,3)＝2kπ(k∈Z)，

∴a1＝－eq\f(2π,3)＋kπ(k∈Z).不妨取k＝1，则a1＝eq\f(π,3)，a2＝eq\f(π,3)＋eq\f(2π,3)＝π，则S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))＝{a，b}，

∴ab＝－1×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).

[答案]B

[例2](2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()

A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)

C．eq\f(2\r(5),5) D．1

[解析]由cos2α＝eq\f(2,3)，得cos2α－sin2α＝eq\f(2,3)，

∴eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(2,3)，

即eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2,3)，

∴tanα＝±eq\f(\r(5),5)，即eq\f(b－a,2－1)＝±eq\f(\r(5),5)，

∴|a－b|＝eq\f(\r(5),5).

[答案]B

[例3](2023·全国乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，则sinθ－cosθ＝________．

[解析]由tanθ＝eq\f(1,2)，可得eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2).

又sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

所以sinθ＝eq\f(\r(5),5)，cosθ＝eq\f(2\r(5),5)，

所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(5),5).

[答案]－eq\f(\r(5),5)

eq\a\vs4\al(方法总结)

1．定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值．

2．同角三角函数关系中的一类基本题型

若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．

[注意]1＝sin2α＋cos2α，

eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

1．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ(1＋sin2θ),sinθ＋cosθ)＝()

A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)

C．eq\f(2,5) D．eq\f(6,5)

解析：eq\f(sinθ(1＋sin2θ),sinθ＋