2025年高考数学总复习第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题.pptxVIP

第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题

目录Contents01练习帮练透好题精准分层

命题点1翻折问题例1[全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，

其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重

合，连接DG，如图2.图1 图2训练2例1训练1例2训练3训练4

(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE.[解析]由已知得AD∥BE，CG∥BE，(位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变)所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，(与“折痕”垂直的线段，翻折前后垂直关系不变)又BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.训练2例1训练1例2训练3训练4

(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小.?训练2例1训练1例2训练3训练4

?由图可知二面角B－CG－A为锐角，因此二面角B－CG－A的大小为30°.训练2例1训练1例2训练3训练4

方法技巧1.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于

“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.注意利用折叠前的平面图计算长度.2.(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变(常用于翻折后构成二面角的平

面角)；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.训练2例1训练1例2训练3训练4

?A.存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不相互垂直B训练2例1训练1例2训练3训练4

[解析]翻折前、后的图形如图1、图2所示.在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为

E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合.在图

2中，连接CE.训练2例1训练1例2训练3训练4

对于选项A，若AC⊥BD，因为BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE.因为CE?平面ACE，所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故选项A错误.对于选项B，若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平

面ADC.因为AC?平面ADC，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知存在这样的

三角形，使得直线AB与直线CD垂直，此时AB＝AC＝2，故选项B正确.对于选

项C，若AD⊥BC，因为DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC.因

为AC?平面ADC，所以BC⊥AC，又BC＞AB，所以不存在这样的直角三角

形，故选项C错误.由以上分析可知选项D错误.故选B.训练2例1训练1例2训练3训练4

?(1)证明：PB⊥AE.训练2例1训练1例2训练3训练4图1图2

[解析]如图，取AE的中点O，连接PO，BO，BE.由题意及题图1知，DA＝DE＝AB＝BE，又PA＝DA，PE＝DE，所以PA＝PE.所以PO⊥AE，BO⊥AE，又PO∩BO＝O，所以AE⊥平面POB.因为PB?平面POB，所以AE⊥PB，即PB⊥AE.训练2例1训练1例2训练3训练4

?(2)当二面角P－AE－B等于90°时，求PA与平面PEC所成角的正弦值.训练2例1训练1例2训练3训练4

?训练2例1训练1例2训练3训练4

命题点2探索性问题例2[2021全国卷甲]如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1