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空间向量的知识点总结

在三维空间的解析几何中，空间向量是一个非常基础的概念，

也是许多数学和物理学科的重要组成部分。空间向量是用于表示

空间中某一点到另一点的有向线段，是一个大小和方向都有意义

的量。本文将对空间向量的相关知识点进行总结，包括向量的定

义、坐标表示、向量的运算、向量的几何意义以及一些应用。

一、向量的定义

向量是带有大小和方向的量，可以表示一个有向线段，也可以

表示空间中的力、速度、加速度等物理量。在三维空间中，向量

由三个实数按照一定的顺序组成，通常用小写字母加箭头表示，

如如。

二、向量的坐标表示

向量可以用三元组$(x,y,z)$表示，分别表示向量在$x$、$y$、

$z$方向的分量。如果要表示从点$A(x_1,y_1,z_1)$到点

$B(x_2,y_2,z_2)$的向量，则该向量的坐标为$(x_2-x_1,y_2-

y_1,z_2-z_1)$。

三、向量的加法和减法

向量的加法和减法都是用平行四边形法则进行的。如果

和和分别表示两个向量，

则它们的和则它们的和和差

分别可以用下面的图示表

示：

（插入图片）

图中，绿色的线段表示图中，绿色的线段表示，蓝色的线段表示

，虚线矩形表示平行四边形。可以看出，向量

的加法和减法都是满足三条基本规律的：

1.交换律：交换律：

htarrow{a}$；；；

。

2.结合律：结合律：结合律：

。

3.分配律：分配律：

errightarrow{b}$。

四、向量的数量积和向量积

向量的数量积和向量积是两种非常重要的向量运算。它们的定

义如下：

1.向量的数量积：设向量的数量积：设和

分别是两个向量，则

和和的数量积定义为：的数量积定义为：的数量积定义为：

。数量积也叫点积，可

以解决向量的垂直问题，同时还可以求出向量的模长、夹角等。

2.向量的向量积：设向量的向量积：设和

分别是两个向量，则

和和的向量积定义为：的向量积定义为：

a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$。向量积也叫叉积，可以解

决向量的平行问题，同时还可以求出向量的模长、方向等。

五、向量的几何意义

在三维空间中，向量可以表示许多物理量，如位移、速度、加

速度等。其中，位移向量可以用来表示从$A$点到$B$点的路径，

速度向量可以用来表示物体在某一时刻的运动速度，加速度向量

可以用来表示物体在某一时刻的加速度等。除此之外，向量还有

许多几何意义，如：

1.向量的模长表示有向线段的长度。

2.向量的方向表示有向线段的方向。

3.向量的点积可以用来判断两向量之间的夹角和是否垂直，也

可以计算向量的模长和投影。

4.向量的叉积可以用来判断两向量之间的平行关