11．3.1　多边形完整版.docx

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11.3多边形及其内角和

11．3.1多边形

关键问答

①怎么判断凸多边形？

②n边形一共有几条对角线？

③在n边形中，和一个顶点不相邻的顶点有多少个？

1．①下列各图中，是凸多边形的是()

图11－3－1

2．如图11－3－2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中()

A．只有三角形

B．只有三角形和四边形

C．只有三角形、四边形和五边形

D．只有三角形、四边形、五边形和六边形

3．②八边形的对角线共有()

A．8条B．16条C．18条D．20条

4．③从n边形的一个顶点出发，最多可以引______条对角线，这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形．

命题点1多边形与正多边形[热度：75%]

5．如图11－3－3，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示________．

图11－3－3

6.如图11－3－4所示，①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为________．

图11－3－4

命题点2有关多边形的对角线的计算问题[热度：92%]

7.④若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是()

A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形

方法点拨

④从n边形的任何一个顶点引对角线，可以引出(n－3)条．

8．⑤把某个多边形的一个顶点与其他各顶点连接起来，若这个多边形被分成了12个三角形，则这个多边形的边数为()

A．14B．15C．13D．16

方法点拨

⑤把n边形的一个顶点与其他各顶点连接起来，可得(n－2)个三角形.

9．n边形的边数每增加一条，其对角线增加()

A．n条B．(n－1)条C．(n－2)条D．(n－3)条

10．⑥一个六边形共有n条对角线，则n的值为()

A．7B．8C．9D．10

模型建立

⑥n边形对角线的条数为eq\f(n（n－3）,2).

11．一个多边形的对角线的条数恰好是边数的3倍，则这个多边形的边数为()

A．6B．7C．8D．9

12．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．凸四边形ABCD，有两种剖分，我们说凸四边形的三角剖分数为2，记作D4＝2(如图11－3－5所示)．二十世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：eq\f(Dn＋1,Dn)＝eq\f(4n－6,n)(Dn表示凸n边形的三角剖分数)．请你用上面的公式计算：D6＝________．

图11－3－5

13．⑦我们可以按照如下步骤来求一个多边形的对角线条数．

如图11－3－6①所示，从三角形的每一个顶点向其余顶点可以引出两条线段，一共引出3×(3－1)条，由于重复计算，实际的条数为eq\f(3×（3－1）,2)条，其中减去相邻两个顶点之间的线段，因此三角形对角线的条数为eq\f(3×（3－1）,2)－3＝0(条)．

如图11－3－6②所示，从四边形的每一个顶点向其余顶点可以引出3条线段，一共引出4×(4－1)条，由于重复计算，实际的条数为eq\f(4×（4－1）,2)条，其中减去相邻两个顶点之间的线段，因此四边形对角线的条数为eq\f(4×（4－1）,2)－4＝2(条)．

若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为________________________，求得该多边形的对角线条数为________．

图11－3－6

模型建立

⑦按题中方法，n边形对角线的条数为eq\f(n（n－1）,2)－n.

14.⑧阅读下列内容，并回答问题：

我们知道，计算n边形对角线条数的公式为eq\f(n（n－3）,2)，如果一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程eq\f(n（n－3）,2)＝20，去分母得n(n－3)＝40.∵n为大于或等于3的整数，且n比n－3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n(n－3)＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：

(1)若一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；

(2)A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说的正确吗？为什么？

方法点拨

⑧对于方程n(n－3)＝a的解法，可以根据n，n－3是正整数且相差3，采用尝试法.

15．⑨探究：已知n边形的对角线总条数与边数的和为s，观察下列图形，请根据你发现的规律，写出s与n之间的关系式．

图11－3－7

应用：请应用探究中得到的s与n之间的关系式