立体几何教案.docx

：点、直线、平面之间的位置关系

1、立体几何四大公理及其推论:

公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

空间中点、线、面表示方法：

〔1〕在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点。

〔2〕小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线。

〔3〕平面常用希腊字母α、β、γ…来表示

备注：平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.，平面通常用一个平行四边形来表示.

〔4〕我们在立体几何中规定：直线和平面视为由点组成的集合；点视为元素。这样我们就可以用集合的方式来表达立体几何中的关系：

例如：

—点A在直线上；Aα—点A不在平面α内；

α—直线在平面α内；

aα—直线a不在平面α内；

∩m=A—直线与直线m相交于A点；

α∩=A—平面α与直线交于A点；

α∩β=—平面α与平面β相交于直线.

3、空间中，点、线、面内位置关系：

线线位置关系：平行、相交、异面。

线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

面面位置关系：重合、平行、相交。

备注：〔1〕异面直线：异面直线指的是既不相交又不平行的直线。这里要注意，在立体几何中，没有交点的两条直线可能平行也可能是异面直线。

〔2〕证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

共面平行—没有公共点

(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点

相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直关系证明方式：

1、立体几何证明题根本思路：

直接证法

直接证法

反证法证题方法

反证法

证题方法

间接证法

间接证法

同一法

同一法

2、各类位置关系证明方法详解：

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即假设a∥α,aβ，α∩β=b,那么a∥b.

③性质：平行于同一直线的两直线平行，即假设a∥b,b∥c,那么a∥c.

④性质：两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即假设α∥β,α∩γ,β∩γ=b,那么a∥b

方法二：用线面平行实现。

方法三：用面面平行实现。

(2)两直线垂直的判定

①性质：一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即假设b∥c,a⊥b,那么a⊥c

②性质：一条直线垂直于一个平面，那么垂直于这个平面内的任意一条直线.即假设a⊥α,bα，a⊥b.

③性质：垂直于同一平面的两直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b

④性质：三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即假设α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，那么a⊥b,b⊥c,c⊥a.

方法二：用线面垂直实现。

(3)直线与平面平行的判定

①定义：假设一条直线和平面没有公共点，那么这直线与这个平面平行.

②判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.即假设aα,bα，a∥b,那么a∥α.

③定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即假设α∥β,α，那么∥β.

④性质：两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即假设α∥β,aα，aβ，a∥α，那么α∥β.

⑤性质：如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即假设a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

方法二：用线线平行实现。

方法三：用面面平行实现。

(4)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②判定定理：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，即假设a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,那么α∥β.

③性质：垂直于同一直线的两平面平行.即假设α⊥a,β⊥a,那么α∥β.

④性质：平行于同一平面的两平面平行.即假设α∥β,