（试卷版）2022-2023学年杨浦区同济大学一附中高二（下）期中数学试卷.docx

2022-2023学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（下）期中数学试卷

一、填空题（1—6题每小题4分，7—12每小题4分，满分54分）

1．（4分）若，α是第二象限角，则cosα＝．

2．（4分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），且∥，则x＝．

3．（4分）若复数z＝（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为．

4．（4分）计算＝．

5．（4分）已知f（x）＝cos2x，则f′（x）＝．

6．（4分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）

7．（5分）已知，则＝．

8．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率e＝．

9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．

10．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像如图所示，以下结论正确的序号是．

（1）﹣3是函数y＝f（x）的极值点；

（2）﹣1是函数y＝f（x）的极小值点；

（3）y＝f（x）在区间（﹣3，1）上严格增；

（4）y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零．

11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的取值范围为．

12．（5分）已知数列{an}为严格递增数列，且对任意n∈N，n≥1，都有an∈N且an≥1．若对任意n∈N，n≥1恒成立，则a2021﹣a1999＝．

二、选择题（每小题5分，共20分）

13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

14．（5分）用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+（2n+1）＝（n+1）（2n+1）”，当n＝k+1时，等式左边应在n＝k的基础上加上（）．

A．2k+1

B．2k+3

C．（2k+2）+（2k+3）

D．（2k+1）+（2k+2）+（2k+3）

15．（5分）已知α∈R，，设直线l：y＝xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：

①直线l的法向量与向量垂直；

②若，则直线l与直线y＝x的夹角为；

③直线l与直线xsinα﹣ycosα+n＝0（n≠m）平行．

上述结论正确的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

16．（5分）已知曲线C：+＝﹣1，对于命题：①垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点；②若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0．下列判断正确的是（）

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

三、解答题（满分76分）

17．（14分）已知数列{an}的前n项和．

（1）求证：数列{an}是等差数列；

（2）令，求Tn的表达式．

18．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣mx﹣1，常数m＞0．

（1）若函数y＝f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0，求实数m的值；

（2）求函数y＝f（x）的单调区间和极值，说明理由．

19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给困难家庭．此活动也为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．

（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

20．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2，记点P的轨迹为Γ．斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点．

（1）求轨迹Γ的方程；

（2）求斜率k的取值范围；

（3）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有MA⊥MB成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．

21．（18分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点