高等代数方法选讲 课程教学大纲.pdf

高等代数方法选讲课程教学大纲

一、课程的基本信息

适应对象：数学与应用数学、信息与计算科学本科专业

课程代码：14E0192615E02026

学时分配：72

赋予学分：4

先修课程：高等代数，解析几何

后续课程：毕业综合训练

二、课程性质与任务

高等代数方法选讲是数学类专业的一门选修课程，开设本课程的任务在于使学生深化对

高等代数基本内容的理解，掌握高等代数的常用方法，提高学生用高等代数方法分析和解决

问题的能力。

三、教学目的与要求

通过本课程的教学，使学生加深对高等代数基本内容的理解，掌握基本方法和专门技巧，

灵活运用高等代数方法解决实际问题。

四、教学内容与安排

第一章多项式（8学时）

1.1基本内容

多项式,整除,带余除法,最大公因式,辗转相除法,互素,可约多项式,不可约多

项式，典型分解式,重因式,单因式,重因式,重根,多项式函数,本原多项式。

1.2常用方法

利用多项式的带余除法求商式和余式,并判断是否有f(x)|g(x)。

利用辗转相除法求多项式u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))。

最大公因式的求法:辗转相除法和典型分解式法。

最大公因式的判别法。

多项式互素的判别法。

多项式重因式的判定方法。

重因式及求法。

Lagrange插值公式的应用。

综合除法。

利用Eisenstein判断法判断整系数多项式在有理数域上是否可约。

1.3例题选讲(略)

第二章行列式（6学时）

2.1基本内容

排列,逆序数,奇排列,偶排列,行列式定义,余子式,代数余子式,范德蒙行列式。

2.2常用方法

求排列的逆序数,判断排列的奇偶性。

利用行列式的定义计算或证明。

把行列式化为三角形行列式计算或证明。

利用行列式的性质计算或证明。

化成箭形行列式计算或证明。

利用行列式按一行(列)展开公式计算或证明。

利用Vandermonde行列式计算或证明。

利用降阶公式和递推关系计算或证明。

利用Cramer法则计算或证明。

2.3例题选讲(略)

第三章线性方程组（6学时）

3.1基本内容

一般解,系数矩阵,增广矩阵,齐次线性方程组,解空间,基础解系,通解。

3.2常用方法

利用初等行变换求线性方程组的一般解的方法。

线性方程组可解(即相容)判别法。

含有待定常数的线性方程组的解法。

求齐次线性方程组的一个基础解系及全部解的方法。

求一般线性方程组的全部解(通解)的方法。

3.3例题选讲(略)

第四章矩阵（8学时）

4.1基本内容

矩阵的运算,可逆矩阵,初等矩阵,伴随矩阵,初等变换,矩阵的秩,分块矩阵运算。

4.2常用方法

把一个n阶可逆矩阵写成初等矩阵的乘积。

求逆矩阵的方法：伴随矩阵法;初等变换法(包括元素为块的情形)。

矩阵秩的求法:直接求矩阵的非零最高阶子式。

用初等变换化矩阵成阶梯形。

利用矩阵的初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵。

4.3例题选讲(略)

第五章二次型（6学时）

5.1基本内容

二次型,二次型的矩阵,二次型的秩,变量的线性变换,矩阵的合同,二次型的等价,

复二次型、实二次型的典范形式,惯性指标,符号差,正定二次型,正定矩阵,主子式。

5.2常用方法

求二次型的矩阵、秩的方法。

对于数域F上n阶对称矩阵A,求A的相似标准形的方法。

求实二次型的典范形式的方法。

求实二次型的惯性指标、符号差的方法。

判断实二次型(实对称矩阵)是否正定的方法。

求实二次型的正交相似标准形的方法。

5.3