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第十一章最小势能原理
11.1概述
一、静力法
二、能量法
1、最小势能原理
2、最小余能原理。
11.2线弹性变形体系的变形势能
一、弹性体的应变能的概念。
（1）拉伸应变能
（11-1）
NEAl
式中是轴力，是截面抗拉刚度，Δ为杆件的伸长
U
量，表示变形能。
（2）弯曲应变能
（11-2）
MEI
式中是弯矩，是截面抗弯刚度，κ为曲率。
（3）剪切应变能
梁发生横力弯曲时，除有弯曲应变能外，还有剪切应变能
（11-3）
QGA/kk
式中是剪力，是截面抗剪刚度，γ为平均剪应变，
0
是与截面切应力分布规律有关的系数。
（4）圆轴扭转应变能
11-4）
MGII
式中是扭矩，是截面抗扭刚度，φ为扭转角，是截面
npp
极惯性矩。
应变能有以下的性质。
MN
（1）应变能总是正的，因为在它的计算公式中，、和
Q都是二次方。
（2）计算应变能时不能应用叠加原理，即体系在几个力
同时作用下的应变能，不能由这几个力分别作用下的应变能
相叠加而得到（以单个杆同时受轴力N和N的作用为例），
12
即
（3）应变能是状态函数。从式（11-6）可以看出，只要
体系的最后变形状态确定，应变能即惟—地确定。也就是说，
如果有几组荷载作用于同一体系，不论其作用的先后次序如
何，只要最后的变形形态相同，则在体系内储存的变形势能
也都相同。
11.3线性变形体系的最小势能原理
首先给出线性变形体系总势能Π的定义，即
UW
Π＝＋（11-7）
UW
式中为体系的应变能，为体系的外力势能。设结构上作
PPPP
用荷载、、、…、。结构在某一位移状态中与荷载
123n
P对于应的位移为Δ，则结构的外力势能为
ii
（11-8）
BC
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