（解析版）2022-2023学年浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷.docx

2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）

1．（3分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为30°．

【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．

【解答】解：直线x﹣y+1＝0化为斜截式为y＝x

故直线的斜率是，

∴直线的倾斜角α满足tanα＝，

结合α∈[0°，180°），可得α＝30°

故答案为：30°．

2．（3分）抛物线y2＝﹣x的准线方程是．

【分析】抛物线y2＝﹣x，焦点在x轴上，开口向左，2p＝1，由此可得抛物线的准线方程．

【解答】解：抛物线y2＝﹣x，焦点在x轴上，开口向左，2p＝1，∴＝

∴抛物线y2＝﹣x的准线方程是

故答案为：

3．（3分）双曲线的焦距为2．

【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解双曲线的实半轴虚半轴的长，然后求解半焦距，即可得到结果．

【解答】解：双曲线，可得a＝．b＝1，则c＝，

所以双曲线的焦距为2．

故答案为：2．

4．（3分）椭圆的离心率为．

【分析】根据椭圆的标准方程，确定a，b的值，求出c的值，利用离心率公式可得结论．

【解答】解：由题意，a＝3，b＝，

∴，

∴＝

故答案为：

5．（3分）函数f（x）＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于6．

【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，在区间[2，4]上，Δy＝f（4）﹣f（2）＝16﹣4＝12，

Δx＝4﹣2＝2，

则其平均变化率＝＝6，

故答案为：6．

6．（3分）两直线3x﹣y+1＝0，x﹣2y+3＝0的夹角的大小为arctan1．（用反三角函数形式表示）

【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线的夹角公式，求得它们的夹角的大小．

【解答】解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为3，直线x﹣2y+3＝0的斜率为，

设这两条直线的夹角的大小为θ，

则tanθ＝||＝1，∴θ＝＝arctan1．

故答案为：arctan1．

7．（3分）若直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2＝10相切，则直线l的方程是x+3y﹣10＝0．

【分析】点A（1，3）在圆C：x2+y2＝10上，求出AC所在直线当斜率，由两直线垂直与斜率的关系可得切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

【解答】解：点A（1，3）在圆C：x2+y2＝10上，

∵，

∴切线的斜率为﹣，则切线方程为y﹣3＝（x﹣1），即x+3y﹣10＝0．

故答案为：x+3y﹣10＝0．

8．（3分）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为，则椭圆C的长轴长为4．

【分析】利用已知条件推出a，即可求解椭圆的长轴长．

【解答】解：P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为，

可得a﹣c＝，所以a﹣＝，解得a＝2，

所以椭圆C的长轴长为2a＝4．

故答案为：4．

9．（3分）已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝．

【分析】由双曲线C的方程，可求出a，b，c值，进而结合|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|，|PF2|长，再由余弦定理可得答案．

【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1，

故a2＝b2＝1，即a＝b＝1，

即c＝＝，

由|PF1|＝2|PF2|，

则|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

则|PF1|＝4，

在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝＝．

故答案为：．

10．（3分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为25．

【分析】根据抛物线的解析式y2＝2px（p＞0），写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|＝2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．

【解答】解：由于抛物线的解析式为y2＝2px（p＞0），

则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x＝﹣，

∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，

又∵AB⊥x轴

∴|AB|＝2p＝10

∴p＝5

又∵点P在准线上

∴DP＝+|﹣|＝p＝5

∴S△ABP＝DP?AB＝×5×10＝25

故答案为25．

11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+8上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2+y1y2＝﹣2，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．

【分析】根据题意，设∠AOB＝θ，分析圆O的圆心和半径，表示向量、的坐标，由向量夹角公式可得cosθ的值，进而可得θ的值，结合直线与圆的位