2025年高考数学总复习第三章一元函数的导数及其应用突破4利用导数解决零点问题.pptxVIP

第三章一元函数的导数及其应用突破4利用导数解决零点问题

目录Contents01练习帮练透好题精准分层

命题点1根据函数零点个数求参数?(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.?例1训练1例2训练2

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方法技巧已知函数零点个数求参数的方法(1)数形结合法：先根据函数的性质画出图象，再根据函数零点个数的要求数形结合

求解；(2)分离参数法：由f(x)＝0分离出参数a，得a＝φ(x)，利用导数求函数y＝φ(x)的

单调性、极值和最值，根据直线y＝a与y＝φ(x)的图象的交点个数得参数a的取值

范围；(3)分类讨论法：先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合

题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的范围.例1训练1例2训练2

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?所以a＞1且a≠e，即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞).(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.例1训练1例2训练2

命题点2探究函数零点个数例2[全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f(x)为f(x)的导数，证明：??例1训练1例2训练2

(2)f(x)有且仅有2个零点.?例1训练1例2训练2

?(iv)当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)

上没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.例1训练1例2训练2

方法技巧探究函数零点个数的方法(1)图象法：通过导数研究函数的单调性、极值、最值，确定函数f(x)的图象草图，

判断图象与横轴的交点个数，一般要结合函数零点存在定理处理.(2)分离法：设f(x)＝g(x)－h(x)，则f(x)的零点个数?g(x)与h(x)图

象的交点个数.例1训练1例2训练2

?[解析]f(x)＝1＋acosx.?例1训练1例2训练2

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1.[命题点1/2022全国卷乙]已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；12?(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.

?12

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∵f(0)＝0，∴f(x1)＞f(0)＝0，当x→－1时，f(x)＜0，∴f(x)在(－1，x1)上存在一个零点，即f(x)在(－1，0)上存在一个零点.∵f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)＞0，∴f(x)在(x2，＋∞)上存在一个零点，即f(x)在(0，＋∞)上存在一个零点.综上，a的取值范围是(－∞，－1).12

??12

(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y

＝ex的切线.?12

1.[2024安徽六校联考]已知函数f(x)＝aex－x(e是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；[解析](1)由已知，得f(x)＝aex－1.①当a≤0时，f(x)＜0，f(x)在R上单调递减；1234②当a＞0时，令f(x)＝0，得x＝－lna，当x∈(－∞，－lna)时，f(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，当x∈(－lna，＋∞)时，f(x)＞0，所以f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增.

[解析](2)原问题等价于g(x)＝axex－(lnx＋x)＝axex－ln(xex)(x＞0)有两个零点，令t＝xex(x＞0)，则易得t＞0，??(2)若g(x)＝aex(x－1)－lnx＋f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.1234

?又当t→0时，h(t)→－∞，当t→＋∞时，h(t)→0，所以h(t)的大致图象如图，?1234

??1234

??1234

?12