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第七章立体几何与空间向量;;;;(2)三个推论
利用基本事实1和基本事实2,结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.;?;3.空间中直线、平面间的位置关系;;2.[多选]以下说法正确的是(CD);3.[多选]如图是一个正方体的展开图,则在这个正方体中,下列命题正确的是
(CD);[解析]把正方体的平面展开图还原,如图,由正方体的结构特征可知,AF与CN
是异面直线,故A错误;BM与AN平行,故B错误;;;[解析]记A1,C,C1三点确定的平面为平面α,平面BDEF为平面β.因为
Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.;方法技巧
1.证明点共线问题的常用方法;训练1如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1,
AA1的中点.;[解析]如图1所示,直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线,理由如下:;[解析]如图2所示,连接BD1,BD,B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,;命题点2空间直线、平面间的位置关系;[解析]对于A,如图1,当点P为A1C1的中点时,连接B1D1,BD,则P在B1D1
上,BP?平面BDD1B1,又DD1?平面BDD1B1,所以BP与DD1共面,故A错误;;对于B,如图2,连接AC,易知AC?平面ACC1A1,BP?平面ACC1A1,且BP∩
平面ACC1A1=P,P不在AC上,所以BP与AC为异面直线,故B正确;当点P与
点C1重合时,连接AD1,B1C(图略),由正方体的性质,易知BP∥AD1,BP与
B1C相交,故C,D错误.故选B.;(2)[2023高三名校联考(一)]设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直
线,则下列说法正确的是(B);[解析]A选项,若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l与α相交、平行或l?α,如图
1,m∥n,且满足m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,但此时l与α斜交,故A错误;B选
项,因为l∥m,m∥n,所以l∥n,因为l⊥α,所以n⊥α,故B正确;C选项,
因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,因为l∥m,所以l∥n,故C错误;D选项,若m?α,n⊥α,l⊥n,则l与m相交、平行或异面,如图2,满足m?α,n⊥α,l⊥
n,但此时l与m异面,故D错误.故选B.;方法技巧
1.判断空间直线、平面间的位置关系时,注意对平面的基本性质及有关定理的应用.
2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时,常借助几何模型(长方体、正方
体)或实物(墙角、桌面等).
3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.;训练2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的
交线,则下列命题正确的是(D);解法二(模型法)如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正
确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.;;[解析]当空间四点A,B,C,D不共面时,则四点构成一个三棱锥.当平面一侧
有一个点,另一侧有三个点时,如图1,当平面过AD,BD,CD的中点时,满足
条件.因为三棱锥有4个面,则此时满足条件的平面有4个.;当平面一侧有两个点,另一侧有两个点时,如图2,当平面过AB,BD,CD,AC
的中点时,满足条件.因为三棱锥的相对棱有3对,则此时满足条件的平面有3个.所
以满足条件的平面共有7个.故选C.;2.[命题点2/多选]已知G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则
下列表示直线GH,MN是异面直线的图形是(BD);;[解析]如图1,可得a,b,c可能两两垂直;如图2,可得a,b,c可能两两相
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