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逻辑斯蒂增长模型

逻辑斯蒂增长模型(Logisticgrowthmodel)逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方

程。用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k

定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：dx/dt=rx(1-x)式中的r为速率参数，

来源于实际调查时观察到的症状明显的病害，范。德。普朗克(1963)将r称作表

观侵染速率(apparentinfectionrate)，该方程与指数模型的主要不同之处，是方

程的右边增加了(1-x)修正因子，使模型包含自我抑制作用。

逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期：

1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。

2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。

3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。

4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。

5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和。

逻辑斯蒂方程有几种不同的表达形式；三中通用形式，外加一种积分形式，

如下：

dN/dt=rN*(K-N)/K或

dN/dt=rN-(r*N^2)/K或

dN/dt=rN(1-N/K)和积分形式

Nt=K/[1+e^(a-n)]

其中dN/dt是种群增长率（单位时间个体数量的改变），r是比增长率或内

禀增长率，N是种群的大小（个体的数量），a是积分常数，它决定曲线离原点

的位置，K是可能出现的最大种群数（上渐近线）或承载力。

Lotka-Volterra模型

20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra（1926）奠定了种间竞争关系的

理论基础，他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。

Lotka-Volterra模型（Lotka-Volterra种间竞争模型）是对逻辑斯蒂模型的延

伸。现设定如下参数：

N1、N2：分别为两个物种的种群数量

K1、K2：分别为两个物种的环境容纳量

r1、r2：分别为两个物种的种群增长率

依逻辑斯蒂模型有如下关系：

dN1/dt=r1N1（1-N1/K1）

其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利用空间项”），则（1-N/K）

可以理解为尚未利用的空间（称为未利用空间项“”）

当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还应该加上N2种群对

空间的占用。则：

dN1/dt=r1N1（1-N1/K1-αN2/K1）————（1）

其中，α：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用的空间相当于

α个N1个体所占用空间。

则有，β：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用的空间相当于

β个N2个体所占用空间。则另有：

dN2/dt=r2N2（1-N2/K2-βN1/K2）————（2）

如我们所知：

当物种N1种群（物种1）的环境容纳量为K1时，N1种群中每个个体对自

身种群的增长抑制作用为1/K1；

同理，N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K2。

另外，从（1）、（2）两个方程以及α、β的定义中可知：

N2种群中每个个体对N1种群的影响为：α/K1

N1种群中每个个体对N2种群的影响为：β/K2

因此，当物种2可以抑制物种1时，可以认为，物种2对物种1的影响物

种2对自身的影响，即α/K11/K2。

整理后得：K2K1/α，同理有：

物种2不能抑制物种1：K2K1/α5

物种1可以抑制物种2：K1K2/β

物种1不能抑制物种2：K1K2/β

这样，在竞争的过程中，由于K1、K2、α以及β的数值不同，可能会产生

如下四种结果：

物种1能抑物种1不能