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核心素养之数学运算

数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理

解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果

等。

数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。

数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

一、运算能力的特征

运算能力的主要特征：正确、灵活、合理、简洁。

首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学

知识，明确意识到实施运算的依据。

然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。不断总结正

反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、公式等的时间和精力，提

高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免错误。

多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性行往同时出现在实施运算的

过程中，多题一解休现了运算的普适性，一题多解休现了运算的灵活性。二者的交替出现，

相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正

确，而且要灵活、合理、简洁。

估算也是种重要的运算技能，估算能力也是运算能力的特征之一，课标在每学段的学段

目标和课程内容中，都强调了估算，并提出了具体的要求。所以我们要充分重视估算。进行

估算需要经过符合逻辑的思考，需要有定的依据，需要掌握一点的方法，积累一定的经验，

需要避免出现过大的误差，需要使估算结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解

释。

二、运算能力的培养与发展

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化，从简单到

复杂、从具体到抽象，有层次的发展。

1、由具体到抽象

第一学段（1－3年级）：理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四

则运算，以及简单的分数和小数的加减运算；

第二学段（4－6年级）：认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运

算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律；

第三学段（7－9年级）：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌

握合并同类项和去括号的法则；进行简单的整式加、城、乘运算及因式分解，利用乘法公

式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）

加、减、乘、除运算，及简单的四则运算；解一元一次方程、可化为一次方程的分式方程；

掌握代入消元法和加减消元法解二元一次次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字

系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。

第四学段（高中）：掌握集合的交、并、补等运算；命题的或、且、非等运算；指数、

对数的运算；三角函数的运算；平面向量的线性运算，向量的数量积；一元二次不等式的解

法，线性规划问题、基本不等式；数列的通项与求和；算法设计、概率；异面直线的夹角，

线面角，几何体的表面积和体积；圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系；排列，

组合与二项式定理；参数方程；矩阵等。

无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程和解不等式的运算，开始总是和具体事物

相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式、方程与不等式的运算。至高中阶段进行

更为抽象的符号运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。

2、由法则到算理

学习和掌握数与式的运算、解方程和不等式的运算，在反复操练、相互交流的过程中，

不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎么算？”“怎么算的好？”“为什么要这样算？”

等系列问题的思考。这是有法则到算理的思考，是运算从操作的层面提升到思维的法面，这

是运算发展的重要内容。

3、由常量到变量

函数在第三学段是重要的内容，函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算

的内容更加丰富多彩，《课程标准》中不仅有：“能确定简单实际问题中函数自变量的取

值范围，并会求出函数值”“会利用待定系数法确定一次函数的表达式”“会用配方法将

数字系数的二次函数化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标”等直接进行运算

的内容;还包括与运算密切相关的内容，如“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行

分析”“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”“结合对函数关系的

分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”。

由变量到常量，表明运算思维产生了新