江苏省南京市中山中学2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分.docxVIP

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2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分

一、填空题

1．，求______．

2．，当时，，求的取值范围______．

3．如图，在Rt中，，，，，为内心，求______．

4．已知，求为______．

5．已知有实数解，求的最大值为______．

6．在四边形中，，求的最大值为______．

7．已知、为方程的两根，求的最小值。

8．若一个直角三角形中两条直角边都是整数，且周长是面积的整数倍，则称其为“三角形”，则这样的“三角形”共有______个。

二、解答题

1．已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都为正数时，有。

（1）已知，求最小值为______。

（2）已知，求最大值为______。

（3）都是正数，，求最小值。

2．求证：数列中一定有2022的倍数．

3．已知为方程的解，，

（1）求证：。

（2）求的值。

4．已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形。

图1 图2

（1）如图1，即为黄金三角形尺规作图。已知，求长为______，为______。

（2）如图2，即为正五边形尺规作图。求证：五边形（所作图形）即为正五边形。

（3）请用另一种方法尺规作图作出正五边形。简要叙述作图方法，无需作图。

2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分解析

一、填空题

1．【解析】

法一：

法二：

2．【解析】开口向上的二次函数，最大值只在两个端点处取掉，所以只需保证两个端点处的函数值即可满足题意，从而求出。

3．【解析】过点作、的垂线，垂足为和，根据内心相关知识计算：

则

4．【解析】过点作交的延长线于点

5．【解析】

当时，

当时，

当时，

综上所述，的最大值是

6．【解析】本题具有更一般性的结论：是等边三角形，求证。

此结论证明方法很多，课内可以采用构造手拉手全等解决以为边构造等边三角形，则，

所以此题答案为4。

7．【解析】

当时取到

8．【解析】法一：

设两直角边分别为、，且

设周长是面积的倍，为正整数

则

移项、平方去根号、化简得：

或

（因，所以不考虑分解为两负数相乘）

或或

法二：勾股数一般形式：

，且

（PS：关于勾股数一般形式的证明此处掠过，感兴趣的同学可以百度）

或2

∴或或或

∴或或

二、解答题

1．【解析】

（1），当时取到：

（2）；

（3）法一：

，当、时取到；

法二：设

，

化简得：

关于的一元二次方程至少有一个正根

∴且

解得：

当时，，符合题意

2．【解析】即证存在是1011的倍数

从中任取两个数

根据抽屉原理可知，必有两个数同余

不妨设其中

则

因为，

即

3．【解析】

（1）由题意知：，两边同时乘以得：

同理

两式相加得：

即

（2）

，

4．【解析】

（1）：

由作图可知：设半径，则

下面证半径为2的正五边形，其边长等于

连接、，过点作垂直于

在图1的黄金三角形中，

过点作垂直于，过点作垂直于于

则

（2）

（3）法一：如下图所示

①作两条相互垂直的直径、；

②作的中垂线交于；

③以为圆心，为半径画圆，交于点；

④以为圆心，为半径画圆，交圆于、；

⑤以为圆心，为半径画圆，交圆于点；再以为圆心，长为半径画圆交圆于，则五边形即为所求

法二：如下图所示：

①作直径，垂直的半径：

②取中点，以为圆心、长为半径作圆，交于点；

③以为圆心，长为半径，以为圆心，长为半径作圆，交于点：

④延长，交圆于点，以为边，作正五边形即可。

法三：如下图所示：

①作相互垂直的半径、；

②取中点，连接：

③作的角平分线，交于点：

④过点作，交圆于点：

⑤以为边长作正五边形即可