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漫谈高数曲线积分的物理意义

数学算法俱乐部

日期：2022年01月10日

正文共：8920字

来源：CSDN

从函数到定积分，曲线积分到环路积分

。

定积分的求解牛顿.拉布尼茨公式有什么几何意义?简单的说，

因为F(b)-F(a)在几何上是f(x)的原函数F(x)在y轴上的线段长度，那么

这个长度如何表示呢?F(b)-F(a)可以写成在区间[a,b]上面的累加

Sigma(F(x)*delta(x))，那么这个Sigma就是f(x)的定积分了。反向构

造的方法联系了不定积分和定积分。

最简单的积分是写成这样的，用算子S[x,a,b]表示在区间(a,b)内对

x求积分，那么函数y=x^2在(1,2)区间内的投影面积，就是

S[x,1,2](x^2)。积分可求的唯一条件是y可以表示成x的函数f(x)，也

就是曲线上，x和y的值，一一对应且唯一对应。什么情况不能称为函

数?例如椭圆方程对应的图形，x,y的值不是一一对应，所以椭圆方程

里面的x,y不是函数关系。这个放到计算机程序里面很好理解，一个不

依赖于外部变量的函数y=function(x)，唯一的x应该确定唯一的y。

否则这就不是函数了。既然积分可以写为算子形式，那么N重积分就

是N阶积分算子作用于积分式的效果，里层的积分结果包含了外层的

变量而已。同理，高阶微分方程可以看成1阶微分算子的叠加结果。

所以我们只讨论一阶的情况高阶的讨论类似。

好了，说了函数和定积分的关系。那么有些积分式不能表示成函

数的形式，怎么办?例如我要求一个中心在原点，长轴在x轴上的椭圆

的面积，怎么办?我们可以把椭圆切成两部分，面积就是x轴上半部分

的面积2倍。而上半部分椭圆，x,y值之间是一一对应关系，可以用定

积分来求解。那么什么又是曲线积分?可以看成是定积分的推广。定积

分总是写成S(y)=S(f(x))的形式，那么我希望被积分的式子有一个加权，

可以是常数，也可以是函数g(x,y)，那么现在的积分式子就是

S(y)=S(g(x,y)*f(x))。求的是对x的积分，其中y=h(x)。

太抽象了，举个有物理含义的例子。

1.假设x/y平面是一个力场，一个质点在

立场中受力，它受的力在x轴方向方向的投影

值，恰好等于它的y坐标(力的正负代表方向)。

2.那么这个例子沿着曲线y^2=x，从(1,-

1)移动到(1,1)，立场对它作了多少功?

我们可以画出一个图形，粒子在y的负半平面受的力总是向左的

(负号)，在y的正半平面受的力总是向右的，所以立场一直在x轴方向

对例子做正的功。做功的积分式子分为两个部分，(1,-1)到(0,0)的过

程是S[x,1,0]，dx是负数，力y=x^0.5也是负数，负负得正。所以做

的总功=2*S[x,0,1](x^0.5)，这个解求很简单了。那么如果立场还有一

个y方向呢?叠加的结果就是2*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，写成积分式子，

就是对于坐标的曲线积分。

当对于坐标的曲线积分变量很多的时候，可以求出每个点的曲率，

用[Px+Qx+...]dt代表x，依次类推，写成一个单变量的定积分形式。

为什么定积分是个减法?因为是求被积函数的累加，这是一个长度，

所以几何意义就是端点相减。定积分还有什么性质？因为把积分变成

了求差/和，反过来，求差/和可以把变量放到微分号里面去，或者提

出来，1重积分可以变成线性运算(定积分)，还可以变成2重积分