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信号与系
统
第六章离散系统的Z域分析
w6.1Z变换
w6.2Z反变换
w6.3Z变换的性质
w6.4离散时间系统的Z域分析
变换的地位和作用类似于连续系统中的拉普拉
斯变换，利用变换把差分方程变换为代数方程，
从而使离散系统的分析较为简便。
本章主要介绍和讨论变换的定义及其性质；离
散系统变换分析法；离散系统函数及系统稳定
性等概念。
6.1Z变换
6.1.1Z变换的定义及其收敛域
离散序列Z变换定义为
（6.1.1）
即是的一个幂级数，其中的系数就是
的值。式（6.1.1）称为离散序列的Z变换定义式，
可记为
（6.1.2）
一个连续函数以均匀间隔进行抽样后的函数
,可以表示为
抽样后的离散序列的拉普拉斯变换为
（6.1.3）
如令或s=，则
（6.1.4）
由此可见，离散信号的Z变换式在本质上仍然
是离散信号的拉普拉斯变换。
变换定义式（6.1.1）称为双边z变换。单边z变换
定义为
（6.1.5）
工程实际的应用主要考虑单边的z变换。一般地，
称为序列的象函数；称为的原函数。
若已知，根据复变函数的理论，原函数
可由下式确定
（6.1.6）
Z变换对变换关系可表示为
z变换对又可简记为
由式（6.1.4）可以看到，由于s是拉普拉
斯变换中的复频率，T为抽样间隔，所以z为一复
数，它必可表示在一个复平面内，这个复平面称
为Z平面。
绝对收敛的区域满足条件为
关于的绝对收敛域，大致有以下几种情形：
（1）在整个平面绝对收敛。
（2）在部分平面绝对收敛。
如图6.1.1所示；
图6.1.1收敛域
6.1.2典型序列的Z变换及其与收敛
域的对应关系
（1）单位序列
因为，将代入式6.1.5）得
即单位序列的变换等于常数1，它在全平面
收敛。记为
（2）阶跃序列
阶跃序列为，故有
上式为一等比级数求和的问题，当，即
时，该式收敛，并等
记为
（3）指数序列
由定义得
对于该级数，当，即时，级数收敛，
并有
这就是说，对指数序列，当收敛域为z平面上半经
的圆外区域时，才存在。这里把R
称为收敛半径。
对于在有限区间内的有界序列，其收敛域
是整个平面。
阶跃序列、指数序列以及许多类似的单边
序列（也称为右边序列），其变换收敛域
总在半径为R的圆外区域。
而左边序列的收敛域是以半径R的圆内部分。
如是从负无穷延伸到正无穷的无限双边序
列，它的收敛域通常是环形。
常用序列的变换见表6.1.1。
6.1.3Z变换与拉普拉斯变换的关系
Z平面和S平面的映射关系。
从式（6.1.4）知道，s和z的关系是
或（6.1.6）
如果将s表示为直角坐标形式
将z表示为极坐标形式
将它们代入式（6.1.6）中，得到
（6.1.7）
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