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关于大学数学遇到的一些疑难问题解析

1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导

数？

答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据

导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是

函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是

一个反例，如y=2x+1(x=1)，y=2x+3(x1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存

在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函

数在x=a处的左导数也有类似结论。

2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y0的情况下是否相同？

答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，

因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成

y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),

下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以

D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y

小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显

得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*x，下方为f(x,y)*y。对Z=min(X,Y)

同理可推。避免了先求F(z)=F(z)*F(z)和F(z)=1-(1-F(z))*(1-F(z)),再对z求

ZxYZxY

导的麻烦。

3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类

间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a

处的左极限=F(x)在x=a处的右极限=F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)

处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数=F(x)的导函数

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在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限=f(x)在x=a的右极限=

f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数

等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，

所以原命题正确。

考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0,f(x)=0当x=0时，当x趋

于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原

函数F(x)=x平方*sin(1/x)x不等于0，F(x)=0当x=0时。

4对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积

分？

答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什

么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax

（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x

的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范

围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到

被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。

从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角

坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。

其中极坐标就是参数方程的特例。

5关于复合函数连续与可导的问题

答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b{b=f(a)}处

连续，则极限符号可以提到括号