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常微分方程》课程大纲

课程简介

常微分方程/3/54

课程名称：学时学分：

先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性

方程组，线性空间Fn,欧氏空间口，特征值与矩阵的对角化），高等数学（多元微积

分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生

教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，

通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要

方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态

和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力

系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求

常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

（数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题

课时数）

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第一章基本概念（，）

（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分

曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解

的几何意义。

（二）教学内容：

1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素

衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特

解，通解等）。

3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

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第二章初等积分法（，）一）本章教学目的与要求：

要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解

法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定

理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。

二）教学内容：

1.恰当方程（积分因子法）；2.分离变量法

3

.一阶线性微分方程（常数变易法）

4.初等变换法齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程

（）

5．应用举例

第三章常微分方程基本定理（10，2）

（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含

义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性

的几何含

、、八

意。

本章教学重点是介绍常微分方程基本定理，给出几何含意，不追求定理条件的减弱，所

涉及的方程至少是连续，使条件、结论及证明简洁，学生易于掌握，也为本学科的后续课

程奠定基础。在习题课中，可介绍这些基本定理的应用，如证明初等函数恒等式，及

推导欧拉公式。

二）教学内容：

1.皮卡存在和唯一性定理用构造毕卡序列，并有它的一致收敛性来证明

，

此定理；

2.佩亚若存在定理；

3．解的延拓（几何含意）；用两个例子说明延拓到边界的含义：时间的边界或状

态空间的边界。

4

.解的全局存在唯一性定理，为动力系统理论奠定基础。

5.比较定理（几何含意）；

6．解对初值和参数的连续依赖性（几何含意）；