新高中竞赛之重要不等式.docx

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高中竞赛之重要不等式

柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）

定理1对任意实数组a,b(i?1,2, ,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

i i

等式当且仅当时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明1

左=?n

a2b2?2?abab

∴右-左=

i i ii j j

i?1 i?j

当且仅当时，等式成立。柯西不等式的两个推论：

ⅰ．设当且仅当

同号（ ），则时取等号。

ⅱ．若 ，且 ，则

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。

证明:对(a

3+a3+a

3)(b3+b3+b

3)和(c3+c3+c

3)(abc+abc

+abc)3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

111 2 22

3 33

分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.

柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式

设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，k?0且k?1，则

（ ）

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a

当且仅当1? 2?

（ ）

a

? n时等号成立。

b b

1 2 n

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当等式：

时得平面上的三角形不

右图给出了对上式的一个直观理解。

若记 ， ，则上式为

特例：

(a?a ?

1 2

?a)2?(b?b?

m 1 2

?b)2?

m

a2?b2? a2?b2? ? a2?b2

1 1 2 2 m m

多个根式可转化为一个根式。赫尔德不等式

已知 （ ）是 个正实数， ，则

上式中若令????1，

2

， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。

2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）

设a ?a

1 2

? ?a，b ?b

?n 1 2

?

? ?b

?n

?

，则有

?nab

??nab ??nab．

i n?1?i

iti ii

i?1 i?1 i?1

即“反序和”?“乱序和”?“同序和”．其中?t,t

1 2

, ,t

?n

?

???1,2, ,n?．当且仅当a ?a

?1 2

?

? ?a

?n

?

或b ?b

1 2

? ?b

?n

?

时等号成立．

〔切比雪夫不等式〕

实数a，b

i i

满足a ?a

1 2

? ?a，b ?b

?n 1 2

?

? ?b

?n

?

（i?1，2，…，n）．则

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1?nab

??1?n

a??1?nb?

1?nab ．

?n ii

?

i?1

?ni?1

i??n

????i?1

??

?

?

i? n

i?1

i n?1?i

当且仅当a ?a

1 2

? ?a 或b ?b

?n 1 2

?

? ?b

?n

?

时等号成立．

下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有

，也即

3琴生不等式

〔凸函数定义〕

设f?x?是定义在闭区间?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有

f??x??1???y???f?x???1???f?y?

成立，则称f?x?是?a,b?上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．

设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?且x?y和任意???0,1?，有

f??x??1???y???f?x???1???f?y?

成立，则称f?x?是?a,b?上的严格凸函数．

设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有

f??x??1???y???f?x???1???f?y?

成立，则称f?x?是?a,b?上的上凸函数．

凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之