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典型例题
【例1】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直;②两条直线相交,若有一组对顶角互补,则这条直线互相垂直;③两条直线相交,若所成的四个角相等,则这两条直线垂直;④两条直线相交,若有一组邻补角相等,则这两条直线垂直.其中说法正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】题中的4个说法,都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义,只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义,所以正确;②有一组对顶角互补,因为对顶角相等,所以这两个角都是90°,所以正确;③两条直线相交,所成的四个角相等,都是90°,所以正确;④有一组邻补角相等,而邻补是互补的,所以这两个角都是90°,所以正确.
【答案】D[来源:中.考.资.源.网]
【例2】如图5-16,过点A、B分别画OB、OA的垂线.
图5-16图5-17
【解析】画线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线,本例中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上.
【答案】如图5-17所示,直线AE为过点A与OB垂直的直线,垂足为E;直线BD为过点B与OA垂直的直线,垂足为D.
【例3】如图5-18,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC
(1)若∠BOC=50°,试探究OE、OF的位置关系;
(2)若∠BOC=α(0°<x<180°),(1)中OE、OF的位置关系是否仍成立?请说明理由,由此你发现了什么规律?
图5-18
【解析】要探究OE、OF的位置关系,可先用三角尺或量角器检测∠EOF的大小来判断OE、OF的关系,再通过计算加以说明;第(2)问用代数代表示∠EOF,再归纳出结论.
【答案】(1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE⊥OF.
由邻补角的定义,可得∠AOC=180°-∠BOC=130°.
由OE平分∠AOC,OF平分∠BOC可得∠COF=∠BOC=25°,
∠COE=∠AOC=65°.
所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°.
因此OE⊥OF.
(2)OE⊥OF仍成立.
因为∠AOC=180°-α,∠COF=α,
∠COE=(180°-α)=90°-α.
所以∠EOF=∠COF+∠COE=α+(90°-α)=90°.[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]
由此发现:无论∠BOC度数是多少,∠EOF总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.
总分100分时间40分钟成绩评定___________
一、填空题(每题5分,共50分)[来源:W]
课前热身
1.两条直线互相垂直时,所得的四个角中有__________个直角.
答案:4
2.过一点________条直线与已知直线垂直.
答案:有且只有
课上作业
3.如图5-19,OA⊥OB于O,直线CD经过点O,∠AOD=35°,则∠BOC=________.
答案:125°
4.如图5-20,直线AB与CD相交于点O,EO⊥AB于O,则∠1与∠2的关系是________.
图5-19图5-20
答案:互为余角
5.如图5-21,O是直线AB上一点OC⊥OD,有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角;②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).
图5-21图5-22
答案:①
6.如图5-22,已知OC⊥AB,OE⊥OD,则图中互余的角共有________对.
答案:4
课下作业
7.如果CD⊥AB于D,自CD上任一点向AB作垂线,那么所画垂线均与CD重合,这是因为________.
答案:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直[来源:中.考.资.源.网]
8.如图5-23,直线AB、CD、EF交于一点O,CO⊥EF且∠GOB=30°,∠AOC=40°,则∠COE=________.
答案:20°
9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA,若∠ACO∶∠COB=3∶1,则∠AOB=________.
答案:120°
10.如图5-24,直线AB、CD相交于O,EO⊥AB,OB平分∠DOF,若∠EOC=115°,则∠BOF=________.∠COF=________.
图5-23图5-24
答案:25°;130°
二、选择题(每题5分,共10分)
模拟在线
11.(辽宁)如图5-25,∠PQR等于138°,SQ⊥QR,TQ⊥PQ则∠SQT等于()
A.42°B.64°
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