高等代数与解析几何答案易忠.pdfVIP

高等代数与解析几何答案易忠

【篇一：整系数多项式的因式分解问题】

xt摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步

学习代数学及其他数学分支的必要基础。多项式理论是整个高等代

数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它不以高等

代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析

几何的其他部分提供理论依据。本文主要讨论整系数多项式的基本

概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上的因式分解问题。

关键词：多项式；因式分解；eisenstein判断法；多项式的根；有

理数域。

引言：在q上讨论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理

数域q上和在整数环z上其可约性是一致的，即在整数环z上若

f(x)?g(x)h(x)（1）

当然可以看成有理数域q上的多项式分解结果。反过来，（1）式中

f(x)为整系数多项式，而

g(x)、h(x)是有理数域q上的多项式，那么通过g(x)、h(x)的系数处

理可以使其成为整系数多项

式g1(x)、h1(x)，满足

f(x)?g1(x)h1(x)

，

因此在q上讨论因式分解问题往往给出的只是整数环z上的多项式。

一.eisenstein判断法的研究

此处介绍判断整系数多项式可约性的如下方法：

定理1.1设

f(x)?anxn?an?1xn?1?????a1x?a0

是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p。使

1）最高次项系数an不能被p整除；2）其余各项的系数都能被p

整除；3）常数项a0不能p2整除，那么多项式f(x)在有理数域不

可约。

这一方法叫做eisenstein判断法。在判断一些多项式可约性及诸如

无理数判断有其直接作用。

例1.存在有理数域上的任意次不可约多项式。事实上，下列整系数

多项式

f(x)?xn?2

不论其n取任意正整数，都存在素数p=2满足eisenstein判断法

的条件。

例2.证明2是无理数。（2）

2

上述（2）中取n=2，若2是有理数，则x?2在q上可约，与

eisenstein判断结果矛盾。

由此，我们可以判断以下数均为无理数

2,

2,3,5,7,???2,3,5,7,???????????????

2?5,

2?7,???

2?3,

2?3?5,2?3?7,???

2?3,2?5,2?7,???2?3?5,2?3?7,???

????????????

一般地，p1p2???pt(其中p1,p2,???,pt为互不相同的素数）均为

无理数。事实上

f(x)?xn?p1p2???pt

由eisenstein判断法可知不可约，若p1p2???pt为无理数，则多

项式可约，矛盾。eisenstein判别法为我们判断一个多项式是否不

可约提供一种手段，但它并非是多项式不可约的必要条，事实上可

以用eisenstein判断法判断其不可约的多项式并不是很多，经行适

当研究可以进一步发挥eisenstein判断法的作用。

关于变换的问题

例3.设p为一素数，多项式

f(x)?xp?1?xp?2?????x?1

叫做分圆多项式，试证明f(x)在有理数域上不可约。

直接用eisenstein判断法难以找到一个素数，而令x

?y?1，那么

f(x)?f(y?1)?g(y)?(y?1)p?1?(y?1)p?2?????(y?1)?1

由于

(x?1)f(x)?xp?1

即

p?12p?2p?1

yg(y)?(y?1)p?1?yp?c1y?cy?????cpppy

于是得到

g(y)?y因为

kcp?

p?1

p?2p?1

?c1?????cp（3）py

p(p?1)???(p?k?1)

，1?k?p

k!

是一个整数，均能被p整除