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直线与椭圆的位置关系

问题1：直线与圆的位置关系有几种？如何判定?相交、相切、相离.方法1:利用圆心到直线的距离与圆的半径之 间的关系判断方法2:判别式法相交、相切、相离.方法:判别式法问题2:直线与椭圆的位置关系有几种？如何判定?

问题3:直线与曲线相交所得弦的弦长公式?(1)设直线y=kx+b与二次曲线f(x,y)=0相交,若两方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,则直线与曲线相交所得弦的弦长为:(2)设直线x=my+a与二次曲线f(x,y)=0相交,若两方程联立消去x得到关于y的一元二次方程,则直线与曲线相交所得弦的弦长为:

【探索研究】例1:当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆相切,相交,相离.解：将y=x+m代入中得

例2：已知斜率为1的直线L过椭圆:的右焦点，交椭圆于 A,B两点，求弦AB的长.方法1:设（设而不求）ABF

例2：已知斜率为1的直线L过椭圆:的右焦点，交椭圆于 A,B两点，求弦AB的长.方法2：（焦半径公式）ABF

例3?过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．?????????、??????????解法一：设所求直线的方程为故所求直线的方程为解得又M为AB的中点∴则设直线与椭圆的交点为代入椭圆方程并整理，得（待定系数法）

解法二：设直线与椭圆的交点为、∵M(2,1)为AB的中点∴（点差法）又A、B两点在椭圆上，则???????????????????两式相减得于是∴即故所求直线的方程为例3?过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．

解法三设所求直线与椭圆的一个交点为???????例3?过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．故所求直线的方程为由于过A、B的直线只有一条，①－②得??∴①②∵A?、B两点都在椭圆上．由于中点为:????则另一个交点为

1．如果椭圆??????的弦被点??平分，求这条弦所在的直线的方程。练习：2．已知直线???????，椭圆???????（1）当?为何值时，与?有两个不同的交点？没有交点？（2）当?为何值时，直线被椭圆?所截的弦长为??？1.2．（1），或??（2）

例4.若P是直线L:x-y+9=0上的点，求过点P且与椭圆C:共焦点,长轴最短的椭圆方程。思路1：要使长轴最短，则所求椭圆与直线L必相切，故可由相切关系解决问题。解：设椭圆方程，若椭圆的长轴最短，则椭圆与直线L必相切。

例4若P是直线L:x-y+9=0上的点，求过点P且与椭圆C:共焦点,长轴最短的椭圆方程。思路2：易得焦点F1（-3，0）,F2（3，0）， 且F1,F2位于直线L的同侧，则问题转化为 在直线L上求点P，使|PF1|+|PF2|最小。解：易求F1(-3,0)关于直线L 的对称点F’(-9,6),连F’F2, 则F’F2与L的交点即为P点。F1F2F’PL易得F’F2：y=1/2(x+3)代入x-y+9=0可得P（-5，4）设椭圆方程为,把点P的坐标代入得λ=33

反思：（1）与共焦点的椭圆系方程:（2）解法1将几何问题转化为代数问题，计算量较大；解法2较多地利用了几何知识和图形的直观性，计算量较小；所以解决解析几何问题，要注意将“数”与“形”结合起来，优化解题过程。

解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0),P(x1,y1),Q(x2,y2)，由mx2+ny2=1y=x+1(m+n)x2+2nx+n-1=0例5.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，求椭圆的方程。

反思：解决椭圆中垂直问题要注意（1）垂直关系的转化：设P(x1,y1