新高考数学一轮复习讲义第10章　§10.7　二项分布、超几何分布与正态分布（原卷版）.doc

§10.7二项分布、超几何分布与正态分布

考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．

知识梳理

1．二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

3．正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝SKIPIF10，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

②曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

常用结论

1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

2．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，

D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．()

(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．()

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．()

(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．()

教材改编题

1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为eq\f(2,3)，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()

A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)

2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()

A．32B．16C．8D．20

3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.

题型一二项分布

例1(1)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是()

A．10分钟 B．5分钟

C．4分钟 D．2分钟

(2)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为eq\f(2,3)，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0P01)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．

①大学毕