新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）.doc

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．

知识梳理

1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

2．“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．空间中直线与直线的位置关系

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))

4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言

符号语言

公共点

直线与平面

相交

a∩α＝A

1个

平行

a∥α

0个

在平面内

a?α

无数个

平面与平面

平行

α∥β

0个

相交

α∩β＝l

无数个

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

6．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

常用结论

1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)没有公共点的两条直线是异面直线．()

(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．()

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()

(4)两两相交的三条直线共面．()

教材改编题

1．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是()

A．BM与ED平行

B．CN与BM成60°角

C．CN与BE是异面直线

D．DM与BN是异面直线

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

题型一基本事实的应用

例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

思维升华共面、共线、共点问题的证明

(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．

(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

跟踪训练1(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过()

A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．

①证明：四边形BCHG是平行四边形；

②C，D，F，E四点是否共面？为什么？

题型二空间位置关系的判断

命题点1空间位置关系的判断

例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()

A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈l

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

C．l?α，A∈l?A?α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合

(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()

A．异面或平行 B．异面或相交

C．异面 D．相交、平行或异面

命题点2异面直线所成的角

例3(