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绝密★启用前
焦作市博爱一中2023—2024学年高三上学期第一次模拟考试
数学
考生注意:
1.开考前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮檫干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知公比不为1的等比数列的前项和为,记:为等差数列;:对任意自然数为等差数列,则是的()
A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.已知,则()
A. B. C. D.
3.已知函数,若函数有3个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中,设都是锐角,若的始边都与轴的非负半轴重合,终边分别与圆交于点,且满足,则当最大时,的值为()
A. B. C. D.
5.已知二面角的平面角为,AB与平面所成角为.记的面积为,的面积为,则的取值范围为()
A. B.
C. D.
6若,则()
A. B. C. D.
7.已知点是直线上一个动点,过点作圆的两条切线,其中为切点,则的最大值为()
A. B. C. D.
8.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,是底面内一动点,若直线与平面不存在公共点,则三角形的面积的最小值为
A. B.1 C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数关系,并写下公式(为虚数单位),这个公式在复变函数中有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,据此公式,则有()
A. B.
C D.
10.下列命题中正确的是()
A.若样本数据,,,的样本方差为3,则数据,,,的方差为7
B.经验回归方程为时,变量x和y负相关
C.对于随机事件A与B,,,若,则事件A与B相互独立
D.若,则取最大值时
11.已知曲线,点为曲线上一动点,则下列叙述正确的是()
A.若,则曲线的离心率为
B.若,则曲线的渐近线方程为
C.若曲线是双曲线,则曲线的焦点一定在轴上
D.若曲线是圆,则的最大值为4
12.已知点是抛物线:的焦点,直线:与相交于,两点,过点,分别作的切线交于点,点是弦的中点,点是线段的中点,则下列说法正确的是()
A. B.直线与轴平行
C.点在抛物线上 D.
三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若,,且,则的取值范围为______.
14.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是.
15.米斗是我国古代称量粮食的量器,是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具,其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化的味,如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和,侧棱长为,则其外接球的体积为______.
16.已知等比数列的公比为,其前n项和为,则的最大值与最小值之和为_______________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已如等差数列的前项和为,若,.
(1)求的通项公式;
(2)若数列的前项和,求数列的前项和.
18.在中,角,,所对的边分别为,,,.
(1)求角;
(2)若,求边上高的最大值.
19.如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,AC与BD交于点O,底面ABCD,F为BE的中点,.
(1)求证:平面ACF;
(2)求AF与平面EBD所成角的正弦值.
20.天和核心舱是我国目前研制的最大航天器,同时也是我国空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务,挑选航天员的要求非常严格.经过统计,在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标?服从正态分布,航天员在此项指标中的要求为.某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事,特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查,对于符合要求的学生再进行4个环节选拔,且仅在通过一个环节后,才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为,且相互独
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