新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）.doc

§8.8直线与圆锥曲线的位置关系

考试要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．

知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ＝0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．

2．弦长公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，

则|AB|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)

或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|

＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2).

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线一定与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1相交．()

(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．()

(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．()

(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．()

教材改编题

1．直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是()

A.eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)

C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)

2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()

A．2B．4C．8D．16

3．已知点A，B是双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为()

A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,9)D.eq\f(9,4)

题型一直线与圆锥曲线的位置关系

例1(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的交点有()

A．1个 B．至多1个

C．2个 D．0个

(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)无公共点，则双曲线的离心率可能为()

A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\r(3)

思维升华

(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．

(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．

跟踪训练1(1)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为()

A．1B．2C．4D．8

(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．

题型二弦长问题

例2已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，右焦点为F(eq\r(2)，0)，且离心率为eq\f(\r(6),3).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq\r(3).

思维升华

(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．

(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.

(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．

跟踪训练2已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，短轴长为2eq\r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq\f(18\r(2),7)，求直线l的方程．

题型三中点弦问题

例3已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab