新高考数学一轮复习讲义第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式（原卷版）.doc

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2.掌握诱导公式，并会简单应用．

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

奇变偶不变，符号看象限

常用结论

同角三角函数的基本关系式的常见变形

sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()

(2)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).()

(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()

(4)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()

教材改编题

1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tanα等于()

A．－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)

2．若sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，则sinαcosα等于()

A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2)D．2

3．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的结果为．

题型一同角三角函数基本关系

例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()

A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(4,5)

C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)

(2)已知cosα＝－eq\f(5,13)，则13sinα＋5tanα＝.

(3)已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－2cosα,sinα＋cosα)＝；eq\f(2,3)sin2α＋eq\f(1,4)cos2α＝.

思维升华

(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．

(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

跟踪训练1(1)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α等于()

A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．－3D．3

(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，则sinα－cosα的值为()

A.eq\f(\r(2),3)B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)

题型二诱导公式

例2(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()

A．sin(3π－x)＝－sinx

B．sin?eq\f(π－x,2)＝－cos?eq\f(x,2)

C．coseq\b