2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题（解析版）.docxVIP

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2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年12月24日

1.设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据数论性质即可求证.

【详解】由和，以及可得

，

故，

又不整除，的最大公因数为1，所以,

故的非常数项的系数均为的倍数

2已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用拉格朗日插值公式即可证明.

【详解】任取一个，由于各不相同，因此至多存在一个，

若对任意，．因此中至少有一个不与，相等．

由插值公式，存在一个至多次的多项式：

满足

．

从而，矛盾，证毕.

3.设为全体由和1构成的元数组的集合，其中为偶数．称与正交，若．记为可以从中选出元数组个数的最大值，满足选出的数组两两正交．求和的值．

【答案】，

【解析】

【分析】类比向量垂直条件理解两个元数组正交的概念，的所有坐标都是1，前个是1，后为，后面等也是含个是1，个，但顺序不同.将符合要求的进行枚举排除.

【详解】证明：显然．设选出的最大的数组集合为，不妨设，

（前个是1）．可以这么设是因为同时改变任意一个坐标的正负不影响结果，交换任意两个坐标也不影响结果．枚举已知中没有同时与和正交的向量，从而．

若，则中的向量线性相关，因此存在不全为0的，不妨设．则，矛盾．从而．再注意到，，，……两两相交，因此．

4.对有理数，若且，定义．求最大的正实数，使得存在正常数满足对所有有理数成立．

【答案】

【解析】

【分析】先证明，再分别对和两种情况进行讨论，从而得到答案.

【详解】证明：，考虑

若，则

若，分两组情况讨论：

（1），则

（2）

从而总成立

因此，

再取

综上，．

5.设，满足．

（1）证明：若，则当时，．

（2）若存在满足，证明．

【答案】（1）证明过程见解析

（2）证明过程见解析

【解析】

【分析】（1）构造，求导后得到其单调性，再构造，，得到，从而证明出结论；

（2）在（1）的基础上得到结论.

【小问1详解】

令，

则，

由于，，

故，

即，

又，，，故，

由于在上单调递减，故，

所以恒成立，

所以在上单调递增，

设，，

则，

令，，

则在上恒成立，

故在上单调递减，

故，故，

所以在上单调递减，

由于，，故，

即，

故，即；

【小问2详解】

存在满足，

即在上有根，

由（1）可得与等号成立条件均为

故若存在满足，则有.

【点睛】构造函数证明不等式或比较大小，是高考常考题目，需要将不等式变形为同种结构或常见的不等式，如或，再构造出适当的函数进行求解.

6.设是正实数数列．

（1）若收敛，求证：存在严格递增的无界正实数数列满足收敛．

（2）若收敛，是否一定存在严格递增的正整数数列，满足收敛，且？

【答案】（1）证明过程见解析

（2）存在，答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用进行放缩即可得证.

（2）先退一步，考虑极限等于的情况，然后将所有数列并在一起，就可以构造出极限等于1的情况.

【小问1详解】

设，则严格递减并趋近于，.取定，记，?

那么，

所以收敛.

【小问2详解】

结论是肯定的.

证明：首先，对于任意的正整数，存在严格递增的正整数数列，使得，例如，我们可以取充分大的正整数，然后让.

这个时候，设，则收敛，我们要构造数列，使得收敛，且.

?因为，，

所以对任意的，有，记.

?取正整数，使得是中最小，

那么?

，

?所以，

?这表明对任意的，都有收敛.

显然，关于的序列是严格递增的正整数数列.

?现在记，然后对每个正整数，取正整数，使得.?

并规定

那么，对任意正整数，都有.

现在定义集合，设，

由于每个都是由正整数构成的无限集，

所以也是由正整数构成的无限集，

?这意味着中元素可以排成一个递增的正整数数列.

??此时，.

?所以收敛.

又因为，，

故，

?而，所以，

这里不等式中的又是任意的，所以.

这就表明.

【点睛】关键点睛：关键是要先考虑极限等于时的情形，然后合并所有数列，从而即可顺利构造满足题意的数列.