新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）.doc

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识梳理

1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离

相切

相交

图形

量化

方程观点

Δ0

Δ＝0

Δ0

几何观点

dr

d＝r

dr

2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)

图形

量的关系

外离

dr1＋r2

外切

d＝r1＋r2

相交

|r1－r2|dr1＋r2

内切

d＝|r1－r2|

内含

d|r1－r2|

3.直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).

(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xM＋xN?2－4xMxN).

常用结论

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．

(2)两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．()

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()

(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．()

(4)在圆中最长的弦是直径．()

教材改编题

1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()

A．相交 B．相切

C．相离 D．相切或相交

2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()

A．4B．2eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)

3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()

A．±3 B．±5

C．3或5 D．±3或±5

题型一直线与圆的位置关系

命题点1位置关系的判断

例1(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()

A．相交、相切或相离 B．相交或相切

C．相交 D．相切

思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系判断．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

命题点2弦长问题

例2(1)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为()

A．±eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．±eq\r(3)

(2)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2eq\r(3)时，直线l的方程为________．

思维升华弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．

(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).

命题点3切线问题

例3已知点P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到