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严格对角占优矩阵定义

矩阵是线性代数中重要的概念之一。在实际应用中，矩阵的性

质和特征对于问题的解决至关重要。其中，严格对角占优矩阵是一

类重要的矩阵类型，其定义和性质被广泛应用于数值计算、最优

化、信号处理等领域。

定义

在介绍严格对角占优矩阵之前，我们先来了解一下对角占优矩

阵。对角占优矩阵是指矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于

等于该行所有非对角元素绝对值之和。即对于一个$n$阶方阵$A$，

如果满足：

$$|a_{ii}|geqsum_{j

eqi}|a_{ij}|,quadi=1,2,dots,n$$

则称$A$为对角占优矩阵。

严格对角占优矩阵是对角占优矩阵的一种特殊情况，其定义

为：矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于该行所有非对角元

素绝对值之和。即对于一个$n$阶方阵$A$，如果满足：

$$|a_{ii}|sum_{j

eqi}|a_{ij}|,quadi=1,2,dots,n$$

则称$A$为严格对角占优矩阵。

举个例子，下面的矩阵是一个对角占优矩阵，但不是严格对角

占优矩阵：

$$begin{bmatrix}4-10-25-11-13

-1-

end{bmatrix}$$

因为第三行的对角元素$3$等于该行所有非对角元素绝对值之和

$|1|+|-1|=2$。

而下面的矩阵是一个严格对角占优矩阵：

$$begin{bmatrix}4-10-25-10-13

end{bmatrix}$$

因为每一行的对角元素都大于该行所有非对角元素绝对值之

和。

性质

严格对角占优矩阵具有以下性质：

1.非奇异性：严格对角占优矩阵是非奇异的，即存在逆矩阵。

证明：设$A$为一个严格对角占优矩阵，我们需要证明$A$的行

列式不为$0$。根据行列式的定义，有：

$$begin{aligned}det(A)=sum_{sigmainS_n}

mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^na_{isigma_i}

sum_{sigmainS_n}mathrm{sgn}(sigma)|a_{1sigma_1}|

prod_{i=2}^nleft(frac{|a_{isigma_i}|}{|a_{i

sigma_i}|+|a_{1sigma_1}|}right)prod_{i=2}^n|a_{i

sigma_i}|geq|a_{11}|sum_{sigmainS_n}

mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=2}^nleft(frac{|a_{i

sigma_i}|}{|a_{isigma_i}|+|a_{1sigma_1}|}right)

prod_{i=2}^n|a_{isigma_i}|0end{aligned}$$

-2-

其中，$S_n$表示$n$个元素的置换群，

$mathrm{sgn}(sigma)$表示置换$sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中

$k$为置换$sigma$的逆序对个数。

上式中，第一行的不等式是因为严格对角占优矩阵的定义，第

二行的不等式是因为对于任意$i=2,dots,n$，有$|a_{1sigma_1}|

geq|a_{isigma_i}|$，第三行的不等式是因为$|a_{11}|

sum_{j

eq1}|a_{1j}|$，即$|a_{11}|$大于第一行所有非对角元素绝

对值之和。

因此，$det(A)0$，即$A$的行列式不为$0$，故$A$是非奇异

的。

2.对称性：严格对角占优矩阵是对称矩阵。

证明：设$A$为一个严格对角占优矩阵，我们需要证明$A$是对

称矩阵，即$A^T=A$。对于任意$i,j=1,dots,n$，有：