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高中数学竞赛专题讲座专题训练
同余的概念与应用
概念与性质
1.定义：若整数,b被整数m(m≥1)除的余数相同,则称同
余于b模m,或,b对模m同余.记为≡b(modm).余数r:0≤r0,
证明必有一个仅由0或1构成的自然数是m的倍数.
证明：考虑数字全为1的数:1,11,111,1111,…中必有两个在
modm的同一剩余类中,它们的差即为所求的.
例4.证明从任意m个整数1,2,…,m中,必可选出若干个
数,它们的和(包括只一个加数)能被m整除.证明：考虑m个数
1,1+2,1+2+3,…,1+2+…+m,如果其中有一个数能被m
整除,则结论成立,否则,必有两个数属于modm的同一剩余类,
这两个数的差即满足要求.
例5.证明数11,111,1111,…中无平方数.
证明：因任意整数n2≡0或1(mod4),而11≡111≡1111≡…
≡3(mod4),所以,数11,111,1111,…中无平方数.例6.确定n
5=1335+1105+845+275.
解：因n5≡35+05+45+75≡3+4+7≡4(mod10),所以n个
位数字为4,显然n的首位数字为1,进一步估量:n5n≥1,求最小
的m+n使得1000|1978m-1978n.
解：令k=m-n,则1978m-1978n≡
0(mod1000)?2n?989n(1978k-1)≡0(mod23?53)?
1
?????≡-≥?≡)
5(mod0119783)2(mod0233knn，∵1978≡3(mod5)
∴19784≡1(mod5)，∵1978≡3(mod25)∴197820≡320≡
1(mod25)，∵1978≡-22(mod53),(-22)20≡(25-3)20≡320≡
(243)4≡74≡(50-1)2≡26(mod53)∴197820≡26(mod53),
∴197840≡(25+1)2≡51(mod53),197860≡(25+1)(50+1)≡
76(mod53),197880≡(50+1)2≡101(mod53),1978100≡
(25+1)(100+1)≡1(mod53),∴100|k∴k最小=100,
m+n=m-n+2n最小=106.
例13.设123,,,
是整数序列,其中有无穷多项为正整数,也有无穷多项为
负整数.假设对每个正整数n,数123,,,,n被n除的余数都
各不相同.证明:在数列123,,,
中,每个整数都刚好出现一次.证明：数列各项同时减去
一个整数不改变本题的条件和结论,故不妨设1=0.此时对每个
正整数k必有∣k∣,(p,)=1,x2,x3,…,xp+2这p+1
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