陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学（理）试卷(含答案).docxVIP

陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．若集合，，则集合()

A. B. C. D.

2．已知i为虚数单位，，则复数在复平面上对应的点在()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．已知向量，，若，则()

A. B. C.1 D.

4．已知数列的前n项和为，且等比数列满足，若，则()

A.6 B.5 C.4 D.3

5．著名的本福特定律:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数,也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”.意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少?（参考数据:,）()

A.2.9 B.3.8 C.4.5 D.6.5

6．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是()

A. B. C. D.

7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是()

A. B. C. D.

8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为()

A. B. C. D.

9．等差数列中的，是函数的极值点，则()

A. B. C.3 D.

10．已知的展开式中的常数项为0，则()

A.3 B. C.2 D.

11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则()

A. B. C. D.

12．设，，，则()

A. B. C. D.

二、填空题

13．已知角，为锐角，且，，则角______.

14．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为______.

15．设x，y满足约束条件，设，则z的取值范围为______.

16．已知函数，若，，且，则的最小值为______.

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长.

18．为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束.否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功.

（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）为验证抽奖试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽奖试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：

t

1

2

3

4

5

y

232

98

60

40

20

求y关于t的回归方程：，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）.

附：经验回归方程系数：，.

参考数据：，，（其中）.

19．如图所示，在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当k取何值时，二面角的余弦值为？

20．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证直线过定点.

21．已知函数，.

（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；

（Ⅱ）证明.

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的斜率.

23．已知函数.

（Ⅰ）画出函数的图象；

（Ⅱ）设函数的最大值为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值.

参考答案

1．答案：B

解析：根据题意，集合

，

则.

故选：B.

2．答案：D

解析：，若，则有且，解可得，则，其在复平面上对应的点为，在第四象限.

故选：D.

3．答案：C

解析：由题意得，由，得，解得，所以，所以..

故选C

4．答案：A

解析