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2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破
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2025年高考数学三次函数图像与性质10类题型（无答案版）
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷（文），第16题,5分
考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。
考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心对称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、极值点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综合应用。
题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体问题。
难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技巧，难度可能略有提升。
备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样性和综合应用能力的培养。
（1）理解三次函数的定义域、值域和图像特点。
（2）掌握三次函数的导数与单调性关系。
（3）判断三次函数的极值点及其个数。
（4）探究三次函数图像与x轴的交点个数。
（5）熟练运用三次函数的对称中心性质。
2024年新高考I卷，第10题,6分
2024年新高考II卷，第11题,6分
2022年新高考I卷，第10题,5分
模块一
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】求三次函数的解析式
【题型2】三次函数的单调性问题
【题型3】三次函数的图像
【题型4】三次函数的最值、极值问题
【题型5】三次函数的零点问题
【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题
【题型7】三次函数对称中心
【题型8】三次函数的切线问题
【题型9】三次函数根与系数的关系
模块二
模块二
核心题型·举一反三(讲与练)
【题型1】求三次函数的解析式
（1）一般式：（a≠0）
（2）交点式：（a≠0）
若三次函数满足，则（????）
A．38 B．171 C．460 D．965
【题型2】三次函数的单调性问题
三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析：
1.三次函数的定义与形式
定义：形如?f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中?a≠=0）的函数称为三次函数。
形式：注意系数?a,b,c,d?的作用，特别是?a?的正负决定了函数的开口方向（a0?开口向上，a0?开口向下）。
2.函数的单调性
导数应用：利用导数?f′(x)=3ax2+2bx+c?判断函数的单调性。解不等式?f′(x)0?和?f′(x)0?得到函数的单调递增和递减区间。
极值点：导数等于0的点（f′(x)=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小值点。
2024·广东茂名市·一模
（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（）
A. B. C.3 D.4
【巩固练习】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【题型3】三次函数的图像
图像
三次函数的定义域和值域均为R。对于值域，可以借助极限的思想。根据函数的解析式可知，影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得：
当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞。
当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞。
又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R。
由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个根。
设，若为函数的极大值点，则（????）
A． B． C． D．
（2024·全国一卷真题）（多选）设函数，则（????）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（????）
A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解
【巩固练习2】（2024·全国甲卷(文)真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．
【题型4】三次函数的最值、极值问题
三次函数的极值与最值
极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。
最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局最值。
已知三次函数无极值，且满足，则.
已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（??
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